Question

【題目】如圖，已知直線與拋物線相交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)是位于直線上方拋物線上的一動點(diǎn)，當(dāng)的面積最大時，求此時的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)（不用說理）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）的面積有最大值是，此時點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.

【解析】

（1）先根據(jù)點(diǎn)B在直線y=x+1求出其坐標(biāo)，再將A，B坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得；
（2）作PM⊥x軸于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，-m2+2m+3），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（m，m+1），依據(jù)S△PAB=S△PAN+S△PBN列出函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得；
（3）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（n，0），結(jié)合各點(diǎn)坐標(biāo)得出QA2=（-1-n）2，QB2=（2-n）2+9，AB2=18，再根據(jù)等腰三角形的定義分三種情況分別求解可得．

解（1）點(diǎn)在直線上，

，

點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，

，

解得，

所求拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)是位于直線上方，

.

的面積

,

拋物線開口向下，又，

當(dāng)時，

的面積有最大值，

最大值是.

此時點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）存在點(diǎn)坐標(biāo)為或或或.