Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，E為BD上的一點，連接EA，將EA繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段EF，連接FB．

（1）如圖a，點E在OB上，

①求∠FEB+∠BAE的度數(shù)；

②求證：ED﹣EB=BF；

（2）如圖b，當E在OD上時，按已知條件補全圖形，直接寫出ED、EB、BF三條線段的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）①45°；②見解析；（2）EB﹣ED=BF．

【解析】

試題分析：（1）①根據(jù)已知條件易證得∠BAE=∠F，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠F+∠FEB=∠OBC=45°，即可求得∠FEB+∠BAE=45°；②在OA上截取OH=OE，連接EH，四邊形ABCD是正方形，求得∠OHE=∠OEH=45°，由∠AEF=90°，得出∠FEB+∠AEH=45°，即可求得AEH=∠F，根據(jù)∠FEB+∠AEO=90°，∠AEO+∠EAH=90°得到∠FEB=∠EAH，然后根據(jù)ASA證得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得=得出OE=BF，因為ED﹣EB=OD+OE﹣（OB﹣OE）=2OE，即可證得ED﹣EB=BF；

（2）在OC上截取OH=OE，連接EH，得出AH=BE，根據(jù)AC⊥BD，∠AEF=90°，得出∠EAH=∠FEB，根據(jù)SAS證得△FEB≌△EAH，得出BF=EH，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求得=得出OE=BF，因為EB﹣ED=2OE，即可證得EB﹣ED=BF．

解：（1）①如圖a，∵∠AEF=90°，∠ABF=90°，∠1=∠2，

∴∠BAE=∠F，

∵∠F+∠FEB=∠OBC=45°

∴∠FEB+∠BAE=45°；

②在OA上截取OH=OE，連接EH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠AOB=90°，

∴∠OHE=∠OEH=45°，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEB+∠AEH=45°，

∴∠AEH=∠F，

∵∠AEF=90°，

∴∠FEB+∠AEO=90°，

∵∠AEO+∠EAH=90°，

∴∠FEB=∠EAH，

在△FEB和△EAH中，

，

∴△FEB≌△EAH（ASA），

∴BF=EH，

在等腰直角三角形EOH中，=

∴OE=BF，

∵ED﹣EB=OD+OE﹣（OB﹣OE）=2OE，

∴ED﹣EB=BF；

（2）ED、EB、BF三條線段的數(shù)量關系為：EB﹣ED=BF，

在OC上截取OH=OE，連接EH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OA=OB，

∴OA+OH=OB+OE，即AH=BE，

∵AC⊥BD，∠AEF=90°，

∴∠EAH=∠FEB，

在△FEB和△EAH中，

，

∴△FEB≌△EAH（SAS），

∴BF=EH，

在等腰直角三角形EOH中，=

∴OE=BF，

∵BE﹣DE=2OE，

∴EB﹣ED=BF．