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        1. 【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,E為BC邊中點(diǎn),以AD為直徑的O與AE交于點(diǎn)F.

          (1)求證:四邊形AOCE為平行四邊形;

          (2)求證:CF與O相切;

          (3)若F為AE的中點(diǎn),求ADF的大。

          【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)30°.

          【解析】

          試題分析:(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得到ADBC,AD=BC,ADC=90°,由E為BC邊中點(diǎn),AO=DO,得到AO=AD,EC=BC,等量代換得到AO=EC,AOEC,即可得到結(jié)論;

          (2)利用平行四邊形的判定方法得出四邊形OAEC是平行四邊形,進(jìn)而得出ODC≌△OFC(SAS),求出OFCF,進(jìn)而得出答案;

          (3)如圖,連接DE,由AD是直徑,得到AFD=90°,根據(jù)點(diǎn)F為AE的中點(diǎn),得到DF為AE的垂直平分線,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DE=AD,推出ABE≌△DCE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=DE,推出三角形ADE為等邊三角形,即可得到結(jié)論.

          試題解析:(1)四邊形ABCD是矩形,

          ADBC,AD=BC,ADC=90°,

          E為BC邊中點(diǎn),AO=DO,

          AO=AD,EC=BC,

          AO=EC,AOEC,

          四邊形OAEC是平行四邊形;

          (2)如圖1,連接OF,

          四邊形OAEC是平行四邊形

          AEOC,

          ∴∠DOC=OAF,

          FOC=OFA,

          OA=OF,

          ∴∠OAF=OFA,

          ∴∠DOC=FOC,

          ODC與OFC中,

          ∴△ODC≌△OFC(SAS),

          ∴∠OFC=ODC=90°,

          OFCF,

          CF與O相切;

          (3)如圖2,連接DE,

          AD是直徑,

          ∴∠AFD=90°,

          點(diǎn)F為AE的中點(diǎn),

          DF為AE的垂直平分線,

          DE=AD,

          ABE與RDCE中,

          ,

          ∴△ABE≌△DCE,

          AE=DE,

          AE=DE=AD,

          三角形ADE為等邊三角形,

          ∴∠DAF=60°,

          ∴∠ADF=30°.

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