Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=x與二次函數(shù)y=x2+bx的圖象相交于O、A兩點(diǎn)，點(diǎn)A（3，3），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）長(zhǎng)度為2 的線段PQ在線段OA（不包括端點(diǎn)）上滑動(dòng)，分別過(guò)點(diǎn)P、Q作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)P1、Q1 ， 求四邊形PQQ1P1面積的最大值；
（3）直線OA上是否存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E關(guān)于直線MA的對(duì)稱點(diǎn)F滿足S△AOF=S△AOM？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把點(diǎn)A（3，3）代入y=x2+bx中，

得：3=9+3b，解得：b=﹣2，

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2﹣2x

（2）

解：設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左下方，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥QQ1于點(diǎn)E，如圖1所示．

∵PE⊥QQ1，QQ1⊥x軸，

∴PE∥x軸，

∵直線OA的解析式為y=x，

∴∠QPE=45°，

∴PE= PQ=2．

設(shè)點(diǎn)P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），

∴PP1=3m﹣m2，QQ1=2﹣m2﹣m，

∴ = （PP1+QQ1）PE=﹣2m2+2m+2=﹣2 + ，

∴當(dāng)m= 時(shí)， 取最大值，最大值為

（3）

解：存在．

如圖2中，①點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，EF與AM交于點(diǎn)G，連接OM、MF、AF、OF．

∵S△AOF=S△AOM，

∴MF∥OA，

∵EG=GF， = ，

∴AG=GM，

∵M(jìn)（1，﹣1），A（3，3），

∴點(diǎn)G（2，1），

∵直線AM解析式為y=2x﹣3，

∴線段AM的中垂線EF的解析式為y=﹣ x+2，

由 解得 ，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（ ， ）．

②設(shè)E關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)E′，E′關(guān)于AM的對(duì)稱點(diǎn)F′，根據(jù)對(duì)稱性可知，△OAF′與△AOF的面積相等，

此時(shí)E′（ ， ），

綜上所述滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)（ ， ）或（ ， ）

【解析】（1）把點(diǎn)A（3，3）代入y=x2+bx中，即可解決問(wèn)題．（2）設(shè)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左下方，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥QQ1于點(diǎn)E，如圖1所示．設(shè)點(diǎn)P（m，m）（0＜m＜1），則Q（m+2，m+2），P1（m，m2﹣2m），Q1（m+2，m2+2m），構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可解決問(wèn)題．（3）存在，首先證明EF是線段AM的中垂線，利用方程組求交點(diǎn)E坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性E關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)E′也符合條件，求出E、E′坐標(biāo)即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚�(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．