Question

如圖，AB是半圓O的直徑，過(guò)點(diǎn)O作弦AD的垂線交半圓O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)C，使∠BED=∠C．
（1）判斷直線AC與圓O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若AC=8，cos∠BED=

4

5

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）AC與⊙O相切．
證明：∵弧BD是∠BED與∠BAD所對(duì)的弧，
∴∠BAD=∠BED，
∵OC⊥AD，
∴∠AOC+∠BAD=90°，
∴∠BED+∠AOC=90°，
即∠C+∠AOC=90°，
∴∠OAC=90°，
∴AB⊥AC，即AC與⊙O相切；

（2）連接BD．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°，
在Rt△AOC中，∠CAO=90°，
∵AC=8，∠ADB=90°，cos∠C=cos∠BED=

4

5

，
∴AO=6，
∴AB=12，
在Rt△ABD中，∵cos∠OAD=cos∠BED=

4

5

，
∴AD=AB•cos∠OAD=12×

4

5

=

48

5

．