Question

【題目】定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形.

（1）如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB=BC，∠ABC=90°，
①若AB=CD=1，AB//CD，求對角線BD的長.
②若AC⊥BD，求證：AD=CD.
（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=9，點P是對角線BD上一點，且BP=2PD，過點P作直線分別交邊AD，BC于點E，F，使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長.

Answer 1

【答案】
（1）

解：①因為AB=CD=1，AB//CD,

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

又因為AB=BC，

所以□ABCD是菱形.

又因為∠ABC=90度，

所以菱形ABCD是正方形.

所以BD= .

②如圖1，連結AC，BD，

因為AB=BC，AC⊥BD，

所以∠ABD=∠CBD,

又因為BD=BD，

所以△ABD△CBD，

所以AD=CD.

（2）

解：若EF與BC垂直，則AE≠EF，BF≠EF，

所以四邊形ABFE不是等腰直角四邊形，不符合條件；

若EF與BC不垂直，

①當AE=AB時，如圖2，

此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以AE=AB=5.

②當BF=AB時，如圖3，

此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形.

所以BF=AB=5，

因為DE//BF，

所以△PED~△PFB，

所以DE：BF=PD：PB=1:2,

所以AE=9-2.5=6.5.

綜上所述，AE的長為5或6.5.

【解析】（1）①由AB=CD=1，AB//CD,根據“有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”可得四邊形ABCD是平行四邊形.由鄰邊相等AB=BC，有一直角∠ABC=90度，所以菱形ABCD是正方形.則BD= ；②連結AC，BD，由AB=BC，AC⊥BD，可知四邊形ABCD是一個箏形，則只要證明△ABD△CBD，即可得到AD=CD.（2）分類討論：若EF與BC垂直，明示有AE≠EF，BF≠EF，即EF與兩條鄰邊不相等；由∠A=∠ABC=90°，可分類討論AB=AE時，AB=BF時去解答.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的判定的相關知識，掌握兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形．