Question

【題目】有這樣一個(gè)問題：探究同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)與的圖象性質(zhì).小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)與，當(dāng)k>0時(shí)的圖象性質(zhì)進(jìn)行了探究，下面是小明的探究過程：

（1）如圖所示，設(shè)函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為A,B.已知A的坐標(biāo)為(-k，-1)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 .

(2)若P點(diǎn)為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點(diǎn)B的任意一點(diǎn).

①設(shè)直線PA交x軸于點(diǎn)M，直線PB交x軸于點(diǎn)N.求證：PM=PN.

證明過程如下：設(shè)P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).

則 解得

所以,直線PA的解析式為 ．

請把上面的解答過程補(bǔ)充完整，并完成剩余的證明.

②當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,k)(k≠1)時(shí)，判斷ΔPAB的形狀，并用k表示出ΔPAB的面積.

Answer 1

【答案】（1）（k，1）；（2）①證明見解析；②ΔPAB為直角三角形.或.

【解析】

試題分析：（1）利用反比例函數(shù)的對稱性指：A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，從而求出B(k，1)

(2)①解方程組，直線PA的解析式為，求出M（m-k,0）;同理求出：N（m+k,0）,作PH⊥x軸，得H（m,0），∴MK=NK=k，最后利用線段垂直平分線線定理知PM=PN.

②分兩種情況討論：第一：當(dāng)k＞1時(shí)，；

第二：當(dāng)0＜k＜1時(shí)，.

試題解析：（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（k，1）

（2）①證明過程如下：設(shè)P(m，)，直線PA的解析式為y=ax+b(a≠0).

則 解得

所以,直線PA的解析式為．

令y=0，得x=m-k

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m-k，0）

過點(diǎn)P作PH⊥x軸于H

∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為（m，0）

∴MH=xH-xM=m-(m-k)=k.

同理可得：HN=k

∴PM=PN

②由①知，在ΔPMN中，PM=PN

∴ΔPMN為等腰三角形，且MH=HN=k

當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，k）時(shí)，PH=k

∴MH=HN=PH

∴∠PMH=∠MPH=45°，∠PNH=∠NPH=45°

∴∠MPN=90°，即∠APB=90°

∴ΔPAB為直角三角形.

當(dāng)k>1時(shí)，如圖1，

=

=

當(dāng)0<k<1時(shí)，如圖2，

=

=