Question

在等邊△ABC中，D、E分別在AC、BC上，且AD=CE=nAC，連AE、BD相交于P，過(guò)B作BQ⊥AE于點(diǎn)Q，連CP．
（1）∠BPQ=______，

PQ

BP

=______
（2）若BP⊥CP，求

AP

BP

；
（3）當(dāng)n=______時(shí)，BP⊥CP？

Answer 1

（1）在△ACE和△BAD中，
CE=AD，
∠ACE=∠BAD=60°（等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都是60°），
AC=BA，
∴△ACE≌△BAD；
∴∠EAC=∠ABD，
∴∠BAP+∠EAC=∠BAP+∠ABD=60°，
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABD=60°；
在三角形BPQ中，BQ⊥AE，
∴

PQ

BP

=cos∠BPQ=

1

2

；

（2）在BP上取BK=AP．連AK
∵△ACE≌△BAD，
∴∠CAE=∠ABD；
∵BK=AP，AB=CA，
∴△ACP≌△BAK，
∴∠BAK=∠ACP，
∴∠AKP=∠CPE=30°．
又∠APB=120°．
∴∠AKP=∠KAP=30°，
∴AP=PK，
∴

AP

BP

=

1

2

；

（3）過(guò)C點(diǎn)作CF⊥AE，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
∵∠BPQ=60°，BP⊥CP，
∴∠CPF=30°，
∵CP=2CF，
∵∠PBQ=∠CPF=30°，∠BQP=∠PFC=90°，
∴△BPQ∽△PCF，
∴BQ：PC=PQ：CF，
∴BQ：PQ=2，
假設(shè)AD=1，則CD=1-n，
CD：AD=BQ：CE，
∴（1-n）：n=BQ：CE=2，
∴n=

1

3

．