Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標(biāo)為（3，4），B點在y軸上．

（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點A（3，4）在直線y=x+m上，

∴4=3+m．

∴m=1．

設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣1）2．

∵點A（3，4）在二次函數(shù)y=a（x﹣1）2的圖象上，

∴4=a（3﹣1）2，

∴a=1．

∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x﹣1）2．

即y=x2﹣2x+1．

（2）

解：設(shè)P、E兩點的縱坐標(biāo)分別為yP和yE．

∴PE=h=yP﹣yE

=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）

=﹣x2+3x．

即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．

（3）

解：存在．

解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC．

∵點D在直線y=x+1上，

∴點D的坐標(biāo)為（1，2），

∴﹣x2+3x=2．

即x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）

∴當(dāng)P點的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BP∥CE．

設(shè)直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x+b．

∵直線CE經(jīng)過點C（1，0），

∴0=1+b，

∴b=﹣1．

∴直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x﹣1．

∴

得x2﹣3x+2=0．

解之，得x1=2，x2=1（不合題意，舍去）

∴當(dāng)P點的坐標(biāo)為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

【解析】（1）因為直線y=x+m過點A，將A點坐標(biāo)直接代入解析式即可求得m的值；設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，將（3，4）代入即可；（2）由于P和E的橫坐標(biāo)相同，將P點橫坐標(biāo)代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標(biāo)表達式，h即為二者之差；根據(jù)P、E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3；（3）先假設(shè)存在點P，根據(jù)四邊形DCEP是平行四形的條件進行推理，若能求出P點坐標(biāo)，則證明存在點P，否則P點不存在．
【考點精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．