Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+8與x軸相交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)P．點(diǎn)D（0，4）在OC上，聯(lián)結(jié)BC、BD．

（1）求拋物線的表達(dá)式并直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，如果△COE與△BCD的面積相等，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上，如果△BCD∽△CPQ，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，9）；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，8）；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，11）或（1，10）．

【解析】

（1）通過待定系數(shù)法代入A、B坐標(biāo)即可求得解析式；

（2）根據(jù)解析式可求得點(diǎn)C坐標(biāo)（0，8），根據(jù)點(diǎn)E為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E（（x，﹣x2+2x+8）再根據(jù)S△COE＝S△BCD，可求得E點(diǎn)坐標(biāo).

（3）根據(jù)點(diǎn)B、D的坐標(biāo)可得到∠BDC＝135°，要滿足△BCD∽△CPQ，∠CPQ=135°或者∠PCQ=135°，通過點(diǎn)C、P的坐標(biāo)可得，∠PCM＝45°，所以∠MCQ=90°，Q在對稱軸上，此情況不成立，所以要滿足△BCD∽△CPQ，僅∠CPQ=135°，即Q在P點(diǎn)上方，可分兩類討論，或代值即可求出Q點(diǎn)坐標(biāo).

（1）將點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+8，得：

解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+8．

∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，9）．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+8＝8，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8）．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，﹣x2+2x+8）（0＜x＜4），

∵S△COE＝S△BCD，

∴×8x＝×4×4，

解得：x＝2，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，8）．

（3）過點(diǎn)C作CM∥x軸，交拋物線對稱軸于點(diǎn)M，如圖所示．

∵點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（0，4），

∴OB＝OD＝4，

∴∠ODB＝45°，BD＝4，

∴∠BDC＝135°．

∵點(diǎn)C（0，8），點(diǎn)P（1，9），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，8），

∴CM＝PM＝1，

∴∠CPM＝45°，CP＝，

∴點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上且在點(diǎn)P的上方，

∴∠CPQ＝∠CDB＝135°．

∵△BCD∽△CPQ，

∴或．

①當(dāng)時(shí)，，

解得：PQ＝2，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，11）；

②當(dāng)時(shí)，，

解得：PQ＝1，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，10）．

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，11）或（1，10）．