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        1. 【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),C(0,3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)B.

          (1)若直線y=mx+n經(jīng)過B、C兩點(diǎn),求直線BC和拋物線的解析式;

          (2)在拋物線的對稱軸x=-1上找一點(diǎn)M,使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);

          (3)設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對稱軸x=-1上的一個動點(diǎn),求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).

          【答案】(1)y=x+3;y=-x2-2x+3;(2)(-1,2);(3)(-1,-2)或(-1,4)或(-1, 或(-1,).

          【解析】

          試題分析:(1)先把點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式得到a和b,c的關(guān)系式,再根據(jù)拋物線的對稱軸方程可得a和b的關(guān)系,再聯(lián)立得到方程組,解方程組,求出a,b,c的值即可得到拋物線解析式;把B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=mx+n,解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式;

          (2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時MA+MC的值最小.把x=-1代入直線y=x+3得y的值,即可求出點(diǎn)M坐標(biāo);

          (3)設(shè)P(-1,t),又因?yàn)锽(-3,0),C(0,3),所以可得BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

          試題解析:(1)依題意得:,解之得:,

          ∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3

          ∵對稱軸為x=-1,且拋物線經(jīng)過A(1,0),

          ∴把B(-3,0)、C(0,3)分別代入直線y=mx+n,

          ,

          解之得:,

          ∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3;

          (2)設(shè)直線BC與對稱軸x=-1的交點(diǎn)為M,則此時MA+MC的值最小.

          把x=-1代入直線y=x+3得,y=2,

          ∴M(-1,2),

          即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時M的坐標(biāo)為(-1,2);

          (3)設(shè)P(-1,t),

          又∵B(-3,0),C(0,3),

          ∴BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10,

          若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),BC2+PB2=PC2:18+4+t2=t2-6t+10解之得:t=-2;

          若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)BC2+PC2=PB2:18+t2-6t+10=4+t2解之得:t=4,

          若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn),PB2+PC2=BC2:4+t2+t2-6t+10=18解之得:t1=,t2=

          綜上所述P的坐標(biāo)為(-1,-2)或(-1,4)或(-1, 或(-1,).

          練習(xí)冊系列答案
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