Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y1＝kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，2）和點(diǎn)Q（0，﹣2），與x軸交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)y2＝mx+n交于點(diǎn)P．

（1）求出直線(xiàn)y1＝kx+b的解析式；

（2）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）直線(xiàn)y2＝mx+n繞著點(diǎn)P任意旋轉(zhuǎn)，與x軸交于點(diǎn)B，當(dāng)△PAB是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)B有幾種位置？請(qǐng)你分別求出點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y1＝2x﹣2；（2）A（1，0）；（3）點(diǎn)B有4種位置使得△PAB為等腰三角形，坐標(biāo)分別為（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式；

（2）令y＝0，可求解；

（3）對(duì)于本題中的等腰△PAB的腰不確定，需要分類(lèi)討論：以PA為底和PA為腰．由兩點(diǎn)間的距離公式和方程思想解答．

解：（1）把P（2，2）和點(diǎn)Q（0，﹣2）分別代入y1＝kx+b，得．

解得．

則直線(xiàn)y1＝kx+b的解析式為：y1＝2x﹣2；

（2）∵直線(xiàn)y1＝2x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，

∴當(dāng)y＝0時(shí)，0＝2x﹣2

∴x＝1，

∴點(diǎn)A（1，0）；

（3）解：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，交于點(diǎn)M，

由題意可知A（1，0），M（2，0），AP＝，AM＝1

當(dāng)m＞0時(shí)，點(diǎn)B有3種位置使得△PAB為等腰三角形

①當(dāng)AP＝AB時(shí)，AB＝，

∴B（+1，0）

②當(dāng)PA＝PB時(shí)，AB＝2AM＝2，

∴B（3，0）

③當(dāng)BA＝BP時(shí)，設(shè)AB＝x，由等面積法可得S△ABP＝×2x＝××，

解得x＝2.5，

∴B（3.5，0）

當(dāng)m＜0時(shí)，點(diǎn)B有1種位置使得△PAB為等腰三角形．

當(dāng)AB＝AP時(shí)，OB＝﹣1，

∴B（1﹣，0）．

綜上所述，點(diǎn)B有4種位置使得△PAB為等腰三角形，坐標(biāo)分別為（+1，0）、（3，0）、（3.5，0）、（1﹣，0）．