Question

【題目】如圖，一元二次方程x2+2x﹣3＝0的二根x1，x2（x1＜x2）是拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B，C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，6）．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）寫出不等式ax2+bx+c≥0的解集；

（3）設(shè)此拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與線段AC相交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（4）在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，當(dāng)MQ+MA取得最小值時(shí)，求M點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣；（2）x≥1，x≤-3；（3）P（﹣1，﹣2），Q（﹣1，2）；（4）M（0，0）

【解析】

（1）先求出一元二次方程的兩個(gè)根，即可知與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)可直接得出不等式的解集；

（3）根據(jù)二次函數(shù)的解析式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸，根據(jù)A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AC的解析式，然后即可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；

（4）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′Q，A′Q與x軸的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求出直線A′Q的解析式即可確定M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）解方程x2+2x﹣3＝0得：x1＝﹣3，x2＝1，

∴拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1，0），C（﹣3，0），

設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x+3）（x﹣1），

∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（3，6），

∴6＝a（3+3）（3﹣1），

解得：a＝，

∴二次函數(shù)的解析式為y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+x﹣；

（2）∵拋物線開口向上，與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為B（1，0），C（﹣3，0），

∴不等式ax2+bx+c≥0的解集為：x≥1或x≤－3；

（3）∵y＝x2+x﹣＝（x+1）2﹣2，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為P（﹣1，﹣2），對(duì)稱軸為x＝﹣1，

設(shè)直線AC解析式為y＝kx+b，

將A（3，6），C（﹣3，0），代入得：，

解得：，

∴直線AC解析式為y＝x+3，

將x＝﹣1代入，得y＝2，

∴Q（﹣1，2）；

（4）作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（3，﹣6），

連接A′Q，A′Q與x軸的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)，

設(shè)直線A′Q的解析式為y＝kx+b，

將A′（3，﹣6），Q（﹣1，2）代入得：，

解得：，

∴直線A′Q的解析式為y＝﹣2x，

令x＝0，則y＝0，

∴M（0，0）．