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        1. 【題目】綜合與探究

          如圖1所示,直線y=x+cx軸交于點(diǎn)A(﹣4,0),與y軸交于點(diǎn)C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,C.

          (1)求拋物線的解析式

          (2)點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上,求CE+OE的最小值;

          (3)如圖2所示,M是線段OA的上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點(diǎn)P、N

          若以C,P,N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為   ;

          若點(diǎn)P恰好是線段MN的中點(diǎn),點(diǎn)F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D,使以點(diǎn)D,F(xiàn),P,M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

          注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,

          【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)CE+OE的最小值為5;(3)或4存在,當(dāng)PF=FM時(shí),點(diǎn)D在MN垂直平分線上,則D();當(dāng)PM=PF時(shí),由菱形性質(zhì)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣);當(dāng)MP=MF時(shí),M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對(duì)稱,點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4,3).

          【解析】

          (1)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式;

          (2)取點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′,由兩點(diǎn)之間線段最短,最小值可得;

          (3)①由已知,注意相似三角形的分類討論.

          ②設(shè)出M坐標(biāo),求點(diǎn)P坐標(biāo).注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對(duì)稱軸對(duì)稱得到的.本題即為研究CPN為等腰三角形的情況.

          解:(1)將A(﹣4,0)代入y=x+c

          ∴c=4

          將A(﹣4,0)和c=4代入y=﹣x2+bx+c

          ∴b=﹣3

          ∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4

          (2)做點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸直線l的對(duì)稱點(diǎn)C′,連OC′,交直線l于點(diǎn)E.

          連CE,此時(shí)CE+OE的值最小.

          ∵拋物線對(duì)稱軸位置線x=﹣

          ∴CC′=3

          由勾股定理OC′=5

          ∴CE+OE的最小值為5

          (3)①當(dāng)△CNP∽△AMP時(shí),

          ∠CNP=90°,則NC關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱

          ∴NC=NP=3

          ∴△CPN的面積為

          當(dāng)△CNP∽△MAP時(shí)

          由已知△NCP為等腰直角三角形,∠NCP=90°

          過點(diǎn)C作CE⊥MN于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(a,0)

          ∴EP=EC=﹣a,

          則N為(a,﹣a2﹣3a+4),MP=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a)=﹣a2﹣a+4

          ∴P(a,﹣a2﹣a+4)

          代入y=x+4

          解得a=﹣2

          ∴△CPN的面積為4

          故答案為:或4

          ②存在

          設(shè)M坐標(biāo)為(a,0)

          則N為(a,﹣a2﹣3a+4)

          則P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,

          把點(diǎn)P坐標(biāo)代入y=﹣x+4

          解得a1=﹣4(舍去),a2=﹣1

          當(dāng)PF=FM時(shí),點(diǎn)D在MN垂直平分線上,則D(,

          當(dāng)PM=PF時(shí),由菱形性質(zhì)點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣

          當(dāng)MP=MF時(shí),M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對(duì)稱,點(diǎn)D坐標(biāo)為(﹣4,3)

          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          相切;四邊形是菱形;

          其中正確的個(gè)數(shù)為(

          A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)

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          A. B. C. D.

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          1)請(qǐng)畫出平移后的A1B1C1(不寫畫法);

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