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        1. 【題目】綜合與探究

          如圖1所示,直線y=x+cx軸交于點A(﹣4,0),與y軸交于點C,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A,C.

          (1)求拋物線的解析式

          (2)點E在拋物線的對稱軸上,求CE+OE的最小值;

          (3)如圖2所示,M是線段OA的上一個動點,過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P、N

          若以C,P,N為頂點的三角形與△APM相似,則△CPN的面積為   ;

          若點P恰好是線段MN的中點,點F是直線AC上一個動點,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D,使以點D,F(xiàn),P,M為頂點的四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點D的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標(biāo)為(﹣,

          【答案】(1)y=﹣x2﹣3x+4;(2)CE+OE的最小值為5(3)或4;存在,當(dāng)PF=FM時,點D在MN垂直平分線上,則D();當(dāng)PM=PF時,由菱形性質(zhì)點D坐標(biāo)為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣);當(dāng)MP=MF時,M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對稱,點D坐標(biāo)為(﹣4,3).

          【解析】

          (1)把已知點坐標(biāo)代入解析式;

          (2)取點C關(guān)于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′,由兩點之間線段最短,最小值可得;

          (3)①由已知,注意相似三角形的分類討論.

          ②設(shè)出M坐標(biāo),求點P坐標(biāo).注意菱形是由等腰三角形以底邊所在直線為對稱軸對稱得到的.本題即為研究CPN為等腰三角形的情況.

          解:(1)將A(﹣4,0)代入y=x+c

          ∴c=4

          將A(﹣4,0)和c=4代入y=﹣x2+bx+c

          ∴b=﹣3

          ∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣3x+4

          (2)做點C關(guān)于拋物線的對稱軸直線l的對稱點C′,連OC′,交直線l于點E.

          連CE,此時CE+OE的值最。

          ∵拋物線對稱軸位置線x=﹣

          ∴CC′=3

          由勾股定理OC′=5

          ∴CE+OE的最小值為5

          (3)①當(dāng)△CNP∽△AMP時,

          ∠CNP=90°,則NC關(guān)于拋物線對稱軸對稱

          ∴NC=NP=3

          ∴△CPN的面積為

          當(dāng)△CNP∽△MAP時

          由已知△NCP為等腰直角三角形,∠NCP=90°

          過點C作CE⊥MN于點E,設(shè)點M坐標(biāo)為(a,0)

          ∴EP=EC=﹣a,

          則N為(a,﹣a2﹣3a+4),MP=﹣a2﹣3a+4﹣(﹣2a)=﹣a2﹣a+4

          ∴P(a,﹣a2﹣a+4)

          代入y=x+4

          解得a=﹣2

          ∴△CPN的面積為4

          故答案為:或4

          ②存在

          設(shè)M坐標(biāo)為(a,0)

          則N為(a,﹣a2﹣3a+4)

          則P點坐標(biāo)為(a,

          把點P坐標(biāo)代入y=﹣x+4

          解得a1=﹣4(舍去),a2=﹣1

          當(dāng)PF=FM時,點D在MN垂直平分線上,則D(,

          當(dāng)PM=PF時,由菱形性質(zhì)點D坐標(biāo)為(﹣1+,)(﹣1﹣,﹣

          當(dāng)MP=MF時,M、D關(guān)于直線y=﹣x+4對稱,點D坐標(biāo)為(﹣4,3)

          練習(xí)冊系列答案
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          相切;四邊形是菱形;;

          其中正確的個數(shù)為(

          A. B. C. D.

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          A. B. C. D.

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          A.BD=DC, AB=AC B.ADB=ADCBD=DC

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