Question

設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[4.3]=4，[-4.3]=-5．
（1）下列各式正確的是（　　）
A．[x]=|x|B．[x]=|x|-1    C．[x]=-x    D．[x]≤[x]+1
（2）解方程：[2x+1]=x-

1

3

（3）已知x，滿足方程組

y=2[x]+3 y=3[x-2]+5

，如果x不是整數(shù)，求x+y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)[x]表示不超過x的最大整數(shù)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．
（2）在一個(gè)方程中有些變量在取整符號(hào)中，有些變量在取整符號(hào)外，這類方程一般要利用不等式[2x]≤2x＜[2x]+1，求出[2x]的范圍，然后再代入原方程求出x的值
（3）首先利用原方程變形，將3[x-2]變?yōu)?[x]-6，得出有關(guān)y與[x]的方程，求出y與[x]，得出x+y的取值范圍．

解答：（1）解：A、當(dāng)x等于負(fù)整數(shù)時(shí)，[x]=-x，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、當(dāng)x等于正整數(shù)時(shí)，[x]=x，[x]≠|(zhì)x|-1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、當(dāng)x等于正整數(shù)時(shí)，[x]=x，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、根據(jù)等式的性質(zhì)得出[x]≤[x]+1，故本選項(xiàng)正確．
故選D．

（2）解：∵[2x+1]=x-

1

3

，
∴[2x]=x-

4

3

，
令[2x]=n，代入原方程得n=x-

4

3

，即x=n+

4

3

．
又∵[2x]≤2x＜[2x]+1，∴n≤2n+

8

3

＜n+1．
整理得：-

8

3

≤n＜-

5

3

，
∴n=-2．
代入原方程得-2=x-

4

3

，
解得：x=-

2

3

．

（3）解：由原方程組

y=2[x]+3 y=3[x-2]+5

，
可得原方程即為：

y=2[x]+3 y=3[x]-1

②-①得：
解得：[x]=4，y=11，
∴[x]+y=15，
∴15＜x+y＜16．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了取整函數(shù)的定義和性質(zhì)，根據(jù)取整函數(shù)的概念判斷出各數(shù)的大小以及將3[x-2]變?yōu)?[x]-6整理為y與[x]的方程是解決問題的關(guān)鍵．