Question

【觀察發(fā)現(xiàn)】
（1）如圖1，若點(diǎn)A、B在直線l同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小．
作法如下：作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線l的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P．
（2）如圖2，在等邊三角形ABC中，AB=4，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上找一點(diǎn)P，使BP+PE的值最�。�
作法如下：作點(diǎn)B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn)C重合，連接CE交AD于一點(diǎn)，則這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，故BP+PE的最小值為

2

3

．
【實(shí)踐運(yùn)用】
如圖3，菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD分別為6和8，M、N分別是邊BC、CD的中點(diǎn)，若點(diǎn)P是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則MP+PN的最小值是

5

．
【拓展延伸】
（1）如圖4，正方形ABCD的邊長為5，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E．若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是

5 2

2

；
（2）如圖5，在四邊形ABCD的對(duì)角線BD上找一點(diǎn)P，使∠APB=∠CPB．保留畫圖痕跡，并簡要寫出畫法．

Answer 1

分析：【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）首先由等邊三角形的性質(zhì)知，CE⊥AB，在直角△BCE中，∠BEC=90°BC=2，BE=1，由勾股定理可求出CE的長度，從而得出結(jié)果；
【實(shí)踐運(yùn)用】作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，求出OC、OB，根據(jù)勾股定理求出BC長，證出MP+NP=QN=BC，即可得出答案；
【拓展延伸】（1）過D作AE的垂線交AE于F，交AC于D′，再過D′作D′P′⊥AD，由角平分線的性質(zhì)可得出D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知D′P′即為DQ+PQ的最小值；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′并延長交BD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．

解答：解：【觀察發(fā)現(xiàn)】（2）∵△ABC是等邊三角形，AB=4，AD⊥BC，CE⊥AB，
∴點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱，BE=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∴BP+PE的最小值=CE=

BC2-BE2

=

42-22

=2

3

．
故答案為：2

3

；

【實(shí)踐運(yùn)用】如圖3，作M關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接NQ，交BD于P，連接MP，此時(shí)MP+NP的值最小，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵M(jìn)Q⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，
∴Q為AB中點(diǎn)，
∵N為CD中點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四邊形BQNC是平行四邊形，
∴NQ=BC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CO=

1

2

AC=3，BO=

1

2

BD=4，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案為：5；

【拓展延伸】（1）如圖4，作D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)D′，再過D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D關(guān)于AE的對(duì)稱點(diǎn)，AD′=AD=4，
∴D′P′即為DQ+PQ的最小值，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′²+AP′²=AD′²，AD′²=25，
∵AP′=P′D'，
2P′D′²=AD′²，即2P′D′²=25，
∴P′D′=

5 2

2

，即DQ+PQ的最小值為

5 2

2

．
故答案為：

5 2

2

；

（2）如圖5所示．
作法：作點(diǎn)C關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′并延長交BD于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問題、勾股定理、作圖與基本作圖等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)找出P點(diǎn)，題型較好，難度較大．