Question

【題目】發(fā)現(xiàn)（1）如圖1，把△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出你的結(jié)論，不必說(shuō)明理由

思考（2）如圖2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合，若∠1+∠2=100°，求∠BIC的度數(shù)；

拓展（3）如圖3，在銳角△ABC中，BF⊥AC于點(diǎn)F，CG⊥AB于點(diǎn)G，BF、CG交于點(diǎn)H，把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合，試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）∠1+∠2=2∠A；理由見(jiàn)解析；（2）∠BIC=115°；（3）∠BHC=180°-（∠1+∠2）．

【解析】

（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、以及平角的定義求出即可；

（2）根據(jù)三角形角平分線的性質(zhì)得出∠IBC+∠ICB=90°-∠A，在用三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠BIC的度數(shù)可；

（3）根據(jù)垂線的性質(zhì)得出，∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，再依據(jù)四邊形AGHF的內(nèi)角和為360°，表示出與的關(guān)系，運(yùn)用對(duì)頂角等量代換，得到與的關(guān)系，再結(jié)合第（1）問(wèn)，得到∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系．

解：（1）∠1+∠2=2∠A；

理由：根據(jù)翻折的性質(zhì)，∠ADE=（180°-∠1），∠AED=（180°-∠2），

∵∠A+∠ADE+∠AED=180°，

∴∠A+（180-∠1）+（180-∠2）=180°，

整理得2∠A=∠1+∠2；

（2）由（1）知：∠1+∠2=2∠A，

又∠1+∠2=100°，

∴∠A=50°

∵IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A，

∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A=90°+×50°=115°；

（3）∵BF⊥AC，CG⊥AB，

∴∠AFH+∠AGH=90°+90°=180°，

∴∠FHG+∠A=180°，

∴∠BHC=∠FHG=180°-∠A，

由（1）知∠1+∠2=2∠A，

∴∠A=（∠1+∠2），

∴∠BHC=180°-（∠1+∠2）．