Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，O是坐標原點，點A的坐標是（﹣1，0），點C的坐標是（0，﹣3）

（1）求拋物線的函數(shù)表達式.
（2）求直線BC的函數(shù)表達式和∠ABC的度數(shù).
（3）P為線段BC上一點，連接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求點P的坐標.

Answer 1

【答案】
（1）

解：將點A的坐標（﹣1，0），點C的坐標（0，﹣3）代入拋物線解析式得：

，

解得：，

故拋物線解析式為：y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：由（1）得：0=x2﹣2x﹣3，

解得：x1=﹣1，x2=3，故B點坐標為：（3，0），

設直線BC的解析式為：y=kx+d，

則，

解得：，

故直線BC的解析式為：y=x﹣3，

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BO=OC=3，

∴∠ABC=45°；

（3）

解：過點P作PD⊥x軸于點D，

∵∠ACB=∠PAB，∠ABC=∠PBA，

∴△ABP∽△CBA，

∴=，

∵BO=OC=3，

∴BC=3，

∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴AB=4，

∴=，

解得：BP=，

由題意可得：PD∥OC，

∴DB=DP=，

∴OD=3﹣=，

則P（，﹣）．

【解析】（1）直接將A，C點坐標代入拋物線解析式求出即可；
（2）首先求出B點坐標，進而利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，進而利用CO，BO的長求出∠ABC的度數(shù)；
（3）利用∠ACB=∠PAB，結合相似三角形的判定與性質得出BP的長，進而得出P點坐標．
【考點精析】通過靈活運用二次函數(shù)的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．