Question

【題目】如果三角形三邊的長a、b、c滿足 =b，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”，如：三邊長分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．
（1）如圖1，已知兩條線段的長分別為a、c（a＜c）．用直尺和圓規(guī)作一個最短邊、最長邊的長分別為a、c的“勻稱三角形”（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）如圖2，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作⊙O的切線交AB延長線于點E，交AC于點F，若 ，判斷△AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：所求圖形，如右圖1所示，

（2）解：△AEF是“勻稱三角形”，

理由：連接AD、OD，如右圖2所示，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，

∴點D是BC的中點，

∵點O為AB的中點，

∴OD∥AC，

∵DF切⊙O于點D，

∴OD⊥DF，

∴EF⊥AF，

過點B作BG⊥EF于點G，

∵∠BGD=∠CFD=90°，∠BDG=∠CDF，BD=CD，

∴△BGD≌△CFD（ASA），

∴BG=CF，

∵ ，

∴ ，

∵BG∥AF，

∴ ，

在Rt△AEF中，設AE=5k，AF=3k，由勾股定理得，EF=4k，

∴ ，

∴△AEF是“勻稱三角形”．

【解析】（1）根據(jù)題意可以畫出相應的圖形，本題得以解決；（2）根據(jù)“勻稱三角形”的定義，由題目中信息的，利用切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的全等以及勾股定理可以判斷△AEF是否為“勻稱三角形”．