Question

【題目】如圖1，對(duì)于平面上不大于的，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在的內(nèi)部或邊界上，作于點(diǎn)E，．于點(diǎn)，則稱為點(diǎn)P相對(duì)于的“優(yōu)點(diǎn)距離”，記為

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于，點(diǎn)P為第一象限內(nèi)或兩條坐標(biāo)軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足5，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)形成的圖形記為圖形G．

（1）滿足條件的其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是 __，圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于 __ ；

（2）設(shè)圖形G與x軸的公共點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖3，已知，，求的值；

（3）如果拋物線經(jīng)過(guò)（2）中的A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在A，B兩點(diǎn)之間的物線上（點(diǎn)Q可與A，B兩點(diǎn)重合），求當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)Q 的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）滿足條件的其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，0）；（說(shuō)明：點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可），圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于．

（2）d（M，∠AOB）=；

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，）．

【解析】

試題（1）點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可， 圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于；

（2）作ME⊥OB于點(diǎn)E，MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點(diǎn)D，作BK⊥x軸于點(diǎn)K．

由點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，4），可求得直線OB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x．從而確定 點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（，1），DM=4-=．從而可得 OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，繼而得ME=DM·sin∠MDE=，從而得d（M，∠AOB）=；

（3）由待定系數(shù)法得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+；作QG⊥OB于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．作QN∥x軸，交OB于點(diǎn)N．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，n），其中3≤m≤5，則QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=，從而得點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（n，n），NQ=m-n．繼而得 QG=m-n，從而得d（Q，∠AOB）=-（m-4）2+， 進(jìn)而得 當(dāng)m=4（在3≤m≤5范圍內(nèi)）時(shí)，d（Q，∠AOB）取得最大值（）．

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，）．

試題解析：（1）滿足條件的其中一個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（5，0）；（說(shuō)明：點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足x+y=5， 0≤x≤5，0≤y≤5均可）

圖形G與坐標(biāo)軸圍成圖形的面積等于．

如答圖1，作ME⊥OB于點(diǎn)E，MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF =1，作MD∥x軸，交OB于點(diǎn)D，作BK⊥x軸于點(diǎn)K．

由點(diǎn)B的坐標(biāo)為B（3，4），可求得直線OB對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=x．∴ 點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（，1），DM=4-=．

∴ OB=5，sin∠AOB=，sin∠MDE=sin∠AOB=，∴ME=DM·sin∠MDE=×=，∴d（M，∠AOB）=ME+MF=+1=；

（3）∵ 拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)A（5，0），B（3，4）兩點(diǎn)，

∴，解得，∴ 拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x2+2x+；

如答圖2，作QG⊥OB于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．作QN∥x軸，交OB于點(diǎn)N．

設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，n），其中3≤m≤5，則QH=n=-m2+2m+；同（2）得 sin∠QNG=sin∠AOB=．

∴ 點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（n，n），NQ=m-n．∴ QG=NQ·sin∠QNG=（m-n）=m-n．

∴d（Q，∠AOB）=QG+QH=m-n+n=m+n=m+（-m2+2m+）=-（m-4）2+，

∴ 當(dāng)m=4（在3≤m≤5范圍內(nèi)）時(shí)，d（Q，∠AOB）取得最大值．

此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4，）．