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        1. 【題目】已知射線AB∥射線CD,P為一動(dòng)點(diǎn),AE平分∠PAB,CE平分∠PCD,且AE與CE相交于點(diǎn)E.
          (1)在圖1中,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段AC上時(shí),∠APC=180°. ①直接寫出∠AEC的度數(shù);②求證:∠AEC=∠EAB+∠ECD;
          (2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圖2的位置時(shí),猜想∠AEC與∠APC之間的關(guān)系,并加以說明;
          (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到圖3的位置時(shí),(2)中的結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)說明理由;若不成立,請(qǐng)寫出∠AEC與∠APC之間的關(guān)系,并加以證明.

          【答案】
          (1)解:①∵AB∥CD,

          ∴∠PAB+∠PCD=180°,

          ∴∠AEC=90°;

          ②證明:在圖1中,過E作EF∥AB,則∠AEF=∠EAB.

          ∵AB∥CD,

          ∴EF∥CD,

          ∴∠CEF=∠ECD.

          ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD.


          (2)解:猜想:∠AEC= ∠APC,理由如下:

          ∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD,

          ∴∠EAB= ∠PAB,∠ECD= ∠PCD.

          由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD,∠APC=∠PAB+∠PCD,

          ∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= ∠APC.


          (3)解:在圖3中,(2)中的結(jié)論不成立,而是滿足∠AEC=180°﹣ ∠APC,

          其證明過程是:

          過P作PQ∥AB,則∠PAB+∠APQ=180°.

          ∵AB∥CD,

          ∴PQ∥CD,

          ∴∠CPQ+∠PCD=180°.

          ∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,即∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC.

          ∵AE、CE分別平分∠PAB和∠PCD,

          ∴∠EAB= ∠PAB,∠ECD= ∠PCD.

          由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD,

          ∴∠AEC= ∠PAB+ ∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= (360°﹣∠APC)=180°﹣ ∠APC.


          【解析】(1)①由平行線的性質(zhì)可得出∠PAB+∠PCD=180°,進(jìn)而可得出∠AEC的度數(shù); ②在圖1中,過E作EF∥AB,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD,進(jìn)而即可證出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD;(2)猜想:∠AEC= ∠APC,由角平分線的定義可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD,由(1)可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD,進(jìn)而即可得出∠AEC= (∠PAB+∠PCD)= ∠APC;(3)在圖3中,(2)中的結(jié)論不成立,而是滿足∠AEC=180°﹣ ∠APC,過P作PQ∥AB,由平行線的性質(zhì)可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°,進(jìn)而可得出∠PAB+∠PCD=360°﹣∠APC,再由角平分線的定義可得出∠EAB= ∠PAB、∠ECD= ∠PCD,結(jié)合(1)的結(jié)論即可證出∠AEC=180°﹣ ∠APC.
          【考點(diǎn)精析】掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答本題的根本,需要知道由角的相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì).

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