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        1. 【題目】在矩形ABCD中,點P在AD上,AB=2,AP=1.將直角尺的頂點放在P處,直角尺的兩邊分別交AB,BC于點E,F(xiàn),連接EF(如圖①).

          (1)當(dāng)點E與點B重合時,點F恰好與點C重合(如圖②),求PC的長;
          (2)探究:將直尺從圖②中的位置開始,繞點P順時針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點E和點A重合時停止.在這個過程中,請你觀察、猜想,并解答:
          ①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請說明理由;
          ②直接寫出從開始到停止,線段EF的中點經(jīng)過的路線長.

          【答案】
          (1)解:在矩形ABCD中,

          ∠A=∠D=90°,

          AP=1,CD=AB=2,則PB= ,

          ∴∠ABP+∠APB=90°,

          又∵∠BPC=90°,

          ∴∠APB+∠DPC=90°,

          ∴∠ABP=∠DPC,

          ∴△APB∽△DCP,

          = ,即 = ,

          ∴PC=2


          (2)解:①tan∠PEF的值不變.

          理由:過F作FG⊥AD,垂足為G,

          則四邊形ABFG是矩形,

          ∴∠A=∠PGF=90°,GF=AB=2,

          ∴∠AEP+∠APE=90°,

          又∵∠EPF=90°,

          ∴∠APE+∠GPF=90°,

          ∴∠AEP=∠GPF,

          ∴△APE∽△GPF,

          = = =2,

          ∴Rt△EPF中,tan∠PEF= =2,

          ∴tan∠PEF的值不變;

          ②設(shè)線段EF的中點為O,連接OP,OB,

          ∵在Rt△EPF中,OP= EF,

          在Rt△EBF中,OB= EF,

          ∴OP=OB= EF,

          ∴O點在線段BP的垂直平分線上,

          ∴線段EF的中點經(jīng)過的路線長為O1O2= PC=


          【解析】1)由勾股定理求PB,利用互余關(guān)系證明△APB∽△DCP,利用相似比求PC;
          (2)①tan∠PEF的值不變.過F作FG⊥AD,垂足為G,同(1)的方法證明△APB∽△DCP,得相似比,再利用銳角三角函數(shù)的定義求值;
          ②如圖3,畫出起始位置和終點位置時,線段EF的中點O1,O2,連接O1O2,線段O1O2即為線段EF的中點經(jīng)過的路線長,也就是△BPC的中位線.

          【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識,掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2,以及對三角形中位線定理的理解,了解連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線;三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊,且等于第三邊的一半.

          練習(xí)冊系列答案
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