Question

【題目】關(guān)于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3=0有兩個不相等的實數(shù)根．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1、x2 ， 存不存在這樣的實數(shù)k，使得|x1|﹣|x2|= ？若存在，求出這樣的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，

∴△=[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）=4k﹣11＞0，

解得：k＞ ；

（2）解：存在，

∵x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，

∴將|x1|﹣|x2|= 兩邊平方可得x12﹣2x1x2+x22=5，即（x1+x2）2﹣4x1x2=5，

代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）=5，

解得：4k﹣11=5，

解得：k=4．

【解析】（1）一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根的條件是判別式>0,構(gòu)建關(guān)于k的不等式，解出不等式即可;（2）先由兩根之積x1x2=k2﹣2k+3=（k﹣1）2+2＞0，判斷出二者同號， 可去絕對值：同正，|x1|﹣|x2|=x1-x2,同負，|x1|﹣|x2|=-（x1-x2),然后兩邊同時平方，即可求出k.
【考點精析】關(guān)于本題考查的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系，需要了解根的判別式△=b2-4ac，這里可以分為3種情況：1、當(dāng)△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根2、當(dāng)△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根3、當(dāng)△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商才能得出正確答案．