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        1. 【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線y= x2+bx+c(b,c為常數(shù))的頂點(diǎn)為P,等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3),直角頂點(diǎn)B在第四象限.

          (1)如圖,若該拋物線過(guò)A,B兩點(diǎn),求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
          (2)平移(1)中的拋物線,使頂點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),且與AC交于另一點(diǎn)Q.
          (i)若點(diǎn)M在直線AC下方,且為平移前(1)中的拋物線上的點(diǎn),當(dāng)以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形時(shí),求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo);
          (ii)取BC的中點(diǎn)N,連接NP,BQ.試探究 是否存在最大值?若存在,求出該最大值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】
          (1)

          解:∵等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,﹣1),C的坐標(biāo)為(4,3)

          ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,﹣1).

          ∵拋物線過(guò)A(0,﹣1),B(4,﹣1)兩點(diǎn),

          ,解得:b=2,c=﹣1,

          ∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y= x2+2x﹣1


          (2)

          解:方法一:

          i)∵A(0,﹣1),C(4,3),

          ∴直線AC的解析式為:y=x﹣1.

          設(shè)平移前拋物線的頂點(diǎn)為P0,則由(1)可得P0的坐標(biāo)為(2,1),且P0在直線AC上.

          ∵點(diǎn)P在直線AC上滑動(dòng),∴可設(shè)P的坐標(biāo)為(m,m﹣1),

          則平移后拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y= (x﹣m)2+m﹣1.

          解方程組: ,

          解得

          ∴P(m,m﹣1),Q(m﹣2,m﹣3).

          過(guò)點(diǎn)P作PE∥x軸,過(guò)點(diǎn)Q作QF∥y軸,則

          PE=m﹣(m﹣2)=2,QF=(m﹣1)﹣(m﹣3)=2.

          ∴PQ=2 =AP0

          若以M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:

          ① 當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為2 (即為PQ的長(zhǎng)).

          由A(0,﹣1),B(4,﹣1),P0(2,1)可知,

          △ABP0為等腰直角三角形,且BP0⊥AC,BP0=2

          如答圖1,過(guò)點(diǎn)B作直線l1∥AC,交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).

          ∴可設(shè)直線l1的解析式為:y=x+b1,

          ∵B(4,﹣1),∴﹣1=4+b1,解得b1=﹣5,

          ∴直線l1的解析式為:y=x﹣5.

          解方程組 ,得:

          ∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7).

          ②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):MP=MQ=2,可求得點(diǎn)M到PQ的距離為

          如答圖2,取AB的中點(diǎn)F,則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,﹣1).

          由A(0,﹣1),F(xiàn)(2,﹣1),P0(2,1)可知:

          △AFP0為等腰直角三角形,且點(diǎn)F到直線AC的距離為

          過(guò)點(diǎn)F作直線l2∥AC,交拋物線y= x2+2x﹣1于點(diǎn)M,則M為符合條件的點(diǎn).

          ∴可設(shè)直線l2的解析式為:y=x+b2

          ∵F(2,﹣1),∴﹣1=2+b2,解得b2=﹣3,

          ∴直線l2的解析式為:y=x﹣3.

          解方程組 ,得: ,

          ∴M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).

          綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

          M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).

          方法二:

          ∵A(0,1),C(4,3),

          ∴l(xiāng)AC:y=x﹣1,

          ∵拋物線頂點(diǎn)P在直線AC上,設(shè)P(t,t﹣1),

          ∴拋物線表達(dá)式: ,

          ∴l(xiāng)AC與拋物線的交點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3),

          ∵一M、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形,P(t,t﹣1),

          ①當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),M(t,t﹣3), ,

          ∴t=1± ,

          ∴M1(1+ , ﹣2),M2(1﹣ ,﹣2﹣ ),

          ②當(dāng)Q為直角頂點(diǎn)時(shí),點(diǎn)M可視為點(diǎn)P繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°而成,

          將點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3)平移至原點(diǎn)Q′(0,0),則點(diǎn)P平移后P′(2,2),

          將點(diǎn)P′繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,則點(diǎn)M′(2,﹣2),

          將Q′(0,0)平移至點(diǎn)Q(t﹣2,t﹣3),則點(diǎn)M′平移后即為點(diǎn)M(t,t﹣5),

          ∴t1=4,t2=﹣2,

          ∴M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),

          ③當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時(shí),同理可得M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),

          綜上所述,所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為:

          M1(4,﹣1),M2(﹣2,﹣7),M3(1+ ,﹣2+ ),M4(1﹣ ,﹣2﹣ ).

          ii) 存在最大值.理由如下:

          由i)知PQ=2 為定值,則當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí), 有最大值.

          如答圖2,取點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(0,3),BQ=B′Q.

          連接QF,F(xiàn)N,QB′,易得FN∥PQ,且FN=PQ,

          ∴四邊形PQFN為平行四邊形.

          ∴NP=FQ.

          ∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′= =2

          ∴當(dāng)B′、Q、F三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為2

          的最大值為 =


          【解析】(1)先求出點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式;(2)(i)首先求出直線AC的解析式和線段PQ的長(zhǎng)度,作為后續(xù)計(jì)算的基礎(chǔ).
          若△MPQ為等腰直角三角形,則可分為以下兩種情況:①當(dāng)PQ為直角邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為2 .此時(shí),將直線AC向右平移4個(gè)單位后所得直線(y=x﹣5)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn);②當(dāng)PQ為斜邊時(shí):點(diǎn)M到PQ的距離為 .此時(shí),將直線AC向右平移2個(gè)單位后所得直線(y=x﹣3)與拋物線的交點(diǎn),即為所求之M點(diǎn).(ii)由(i)可知,PQ=2 為定值,因此當(dāng)NP+BQ取最小值時(shí), 有最大值.如答圖2所示,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B′,由分析可知,當(dāng)B′、Q、F(AB中點(diǎn))三點(diǎn)共線時(shí),NP+BQ最小,最小值為線段B′F的長(zhǎng)度.
          【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小即可以解答此題.

          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,△ABC的周長(zhǎng)為20,其中AB=8,

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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          A. 5 cm B. 1 cm C. 51 cm D. 無(wú)法確定

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】2013成都)若正整數(shù)n使得在計(jì)算n+(n+1)+(n+2)的過(guò)程中,各數(shù)位均不產(chǎn)生進(jìn)位現(xiàn)象,則稱n為“本位數(shù)”.例如2和30是“本位數(shù)”,而5和91不是“本位數(shù)”.現(xiàn)從所有大于0且小于100的“本位數(shù)”中,隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù),抽到偶數(shù)的概率為

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】某市為創(chuàng)建省衛(wèi)生城市,有關(guān)部門(mén)決定利用現(xiàn)有的4200盆甲種花卉和3090盆乙種花卉,搭配A、B兩種園藝造型共60個(gè),擺放于入城大道的兩側(cè),搭配每個(gè)造型所需花卉數(shù)量的情況下表所示,結(jié)合上述信息,解答下列問(wèn)題:

          1)符合題意的搭配方案有幾種?

          2)如果搭配一個(gè)A種造型的成本為1000元,搭配一個(gè)B種造型的成本為1500元,試說(shuō)明選用那種方案成本最低?最低成本為多少元?

          造型花卉



          A

          80

          40

          B

          50

          70

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,點(diǎn)B在線段AC上,點(diǎn)D、E在AC同側(cè),∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.
          (1)求證:AC=AD+CE;
          (2)若AD=3,CE=5,點(diǎn)P為線段AB上的動(dòng)點(diǎn),連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點(diǎn)Q; (i)當(dāng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)不重合時(shí),求 的值;
          (ii)當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),求線段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑(線段)長(zhǎng).(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)出解答過(guò)程)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,拋物線y1= (x+1)2+1與y2=a(x﹣4)2﹣3交于點(diǎn)A(1,3),過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線,分別交兩條拋物線于B、C兩點(diǎn),且D、E分別為頂點(diǎn).則下列結(jié)論: ①a= ;②AC=AE;③△ABD是等腰直角三角形;④當(dāng)x>1時(shí),y1>y2
          其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

          A.1個(gè)
          B.2個(gè)
          C.3個(gè)
          D.4個(gè)

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),已知ABC三個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(﹣4,1),B(﹣3,3),C(﹣1,2).

          (1)畫(huà)出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1,點(diǎn)A,B,C的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)A1、B1、C1,直接寫(xiě)出點(diǎn)A1,B1,C1的坐標(biāo);

          (2)畫(huà)出點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C2,連接C1C2,CC2,C1C,△CC1C2的面積.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          【題目】如圖,一棵大樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中折斷倒下,未折斷樹(shù)桿AB與地面仍保持垂直的關(guān)系,而折斷部分AC與未折斷樹(shù)桿AB形成53°的夾角.樹(shù)桿AB旁有一座與地面垂直的鐵塔DE,測(cè)得BE=6米,塔高DE=9米.在某一時(shí)刻的太陽(yáng)照射下,未折斷樹(shù)桿AB落在地面的影子FB長(zhǎng)為4米,且點(diǎn)F、B、C、E在同一條直線上,點(diǎn)F、A、D也在同一條直線上.求這棵大樹(shù)沒(méi)有折斷前的高度.(參考數(shù)據(jù):sin53°≈0.8,cos53°≈0.6,tan53°≈1.33)

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