Question

   

如圖11，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，OC=OE=4，B為線段OA的中點(diǎn)，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對(duì)稱軸交于M，點(diǎn)P為線段FG上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與F、G不重合），作PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q．

（1）求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

（2）判斷△BDC的形狀，并給出證明；當(dāng)P在什么位置時(shí)，以P、O、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若拋物線的頂點(diǎn)為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成為等腰梯形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：

（1）B（-1，0）E（0，4）C（4，0）設(shè)解析式是y=ax²+bx+c

可得解得

 ∴y=-x²+3x+4

（2）△BDC是直角三角形

∵BD²=BO²+DO²=5，DC²=DO²+CO²=20，BC²=（BO+CO）²=25
∴BD²+DC²=BC²

∴△BDC是Rt△

∵點(diǎn)A坐標(biāo)是（-2，0），點(diǎn)D坐標(biāo)是（0，2）

∴直線AD的解析式是y=x+2

設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)是（x，x+2）

當(dāng)OP=OC時(shí)x²+（x+2）²=16解得（，舍去）此時(shí)點(diǎn)P（）

當(dāng)PC=OC時(shí)（x+2）²+（4-x）²=16方程無解,故不存在

當(dāng)PO=PC時(shí)，點(diǎn)P在OC的中垂線上

∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)是2，得點(diǎn)P坐標(biāo)是（2，4）

∴當(dāng)△POC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)是（）或（2，4）

（3）點(diǎn)M坐標(biāo)是（，點(diǎn)N坐標(biāo)是（），∴MN=

設(shè)點(diǎn)P為（x，x+2）Q（x，-x²+3x+4），則PQ=-x²+2x+2

①若PQNM是菱形，則PQ=MN，可得x1=0.5，x2=1.5

當(dāng)x2=1.5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)M重合；當(dāng)x1=0.5時(shí)，可求得PM=，此時(shí)PM≠ MN所以菱形不存在

②能成為等腰梯形，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（2.5，4.5）