Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，已知CF=2

2

．
（1）求點C的坐標(biāo)；
（2）求證：AE∥BF；
（3）延長BF交y軸于點D，求點D的坐標(biāo)及直線BD的解析式．

Answer 1

分析：（1）因為以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，可連接AF，由切線的性質(zhì)可得∠AFC=90°，因為CF=2

2

，由勾股定理可求AC=

AF2+CF2

=

9

=3，進而求出C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)OA⊥OD，AO是半徑，可得OD是⊙A的切線，因為EF是⊙A的切線，所以EF=EO，進而可證△AFE≌△AOE，
得∠EAC=∠FAE=

1

2

∠FAO，因為∠B=

1

2

∠FAO，所以∠B=∠EAC，AE∥BF．
（3）可作FM⊥BC于M，利用直角三角形的面積可求FM=

AF•FC

AC

=

2

3

2

，利用勾股定理可求MC=

CF2-FM2

=

8

3

，進而求出OM=MC-OC，寫出F的坐標(biāo)即可；
因為延長BF交y軸于點D，已知B、F的坐標(biāo)，所以可設(shè)BF為y=kx+b，利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式為y=

2

2

x+

2

，令x=0，求出y的值，即可求出D的坐標(biāo)．

解答：（1）解：因為以點A（-1，0）為圓心，AO為半徑的圓交x軸負(fù)半軸于另一點B，點F在⊙A上，過點F的切線交y軸正半軸于點E，交x軸正半軸于點C，連接AF．
所以O(shè)A=AB=AF=1，∠AFC=90°，
因為CF=2

2

，由勾股定理得AC=

AF2+CF2

=

9

=3．
所以O(shè)C=3-1=2，
所以C（2，0）．

（2）證明：∵OA⊥OD，AO是半徑，
∴OD是⊙A的切線．
∵EF是⊙A的切線，
∴EF=EO
∵AE=AE，AF=AO，
∴△AFE≌△AOE．
∴∠EAC=∠FAE=

1

2

∠FAO，
∵∠B=

1

2

∠FAO，
∴∠B=∠EAC．
∴AE∥BF．

（3）解：作FM⊥BC于M，因為FM=

AF•FC

AC

=

2

3

2

，MC=

CF2-FM2

=

8

3

，OM=MC-OC=

2

3

∴F（-

2

3

，

2

3

2

）．
設(shè)BF為y=kx+b，
則

0=-2k+b 2 3 2 =- 2 3 k+b

解之，得

k= 2 2 b= 2

．
所以直線BD的解析式為y=

2

2

x+

2

．
令x=0，則y=

2

，所以D（0，

2

）．

點評：本題需綜合利用待定系數(shù)法、勾股定理、圓的切線來解決問題．