Question

【題目】如圖，已知矩形AOBC中．OB=3個(gè)單位，BC=4個(gè)單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AO以每秒4個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)．同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）用t表示線段PO的長度；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQC是矩形；

（3）設(shè)△APO與△AOB的重疊部分的面積為s平方單位，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

（4）過點(diǎn)P作PE⊥AO交直線AB于點(diǎn)E，在動(dòng)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)H是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以B、Q、E、H為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，PO=4﹣4t，當(dāng)t＞1時(shí)，PO=4t﹣4；（2）當(dāng)t= 時(shí)，四邊形APQC是矩形；（3）s＝4t;(4)

【解析】

(1)、分兩種情況進(jìn)行考慮：即當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上，點(diǎn)P在射線AO上；(2)、根據(jù)題意得出）AP=4t．CQ=4﹣2t，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出AP=CQ，從而得出答案；(3)、①、當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△ADP，，作DM⊥OA于M，交BC于N，根據(jù)三角形相似得出答案；當(dāng)t＞1時(shí)，重疊部分是四邊形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K，根據(jù)相似求出線段的長度，然后求出面積；(4)、分四種情況來進(jìn)行計(jì)算，即當(dāng)BE為菱形的對(duì)角線；當(dāng)BE=BQ；當(dāng)BQ是菱形的對(duì)角線；當(dāng)BE=BQ時(shí)．分別畫出四個(gè)圖形，從而得出答案．

（1）當(dāng)0＜t≤1時(shí)，PO=4﹣4t，當(dāng)t＞1時(shí)，PO=4t﹣4；

（2）AP=4t．CQ=4﹣2t，當(dāng)APQC是矩形時(shí)，有AP=CQ， 即4t=4﹣2t，∴t=

當(dāng)t= 時(shí)，四邊形APQC是矩形．

（3）①如圖1中，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，重疊部分是△ADP，作DM⊥OA于M，交BC于N．

∵BQ=2t，AP=4t，BQ∥AP，∴===， ∵AC=OB=3，∴DM=×3=2，

∴s=．

②如圖2中，當(dāng)t＞1時(shí)，重疊部分是四邊形ADKO，作DM⊥OA于M，交BC于N，PQ交OB于K．

∵OP∥BQ，∴=，∴=，∴OK=，

∴，

（4）①如圖3中，當(dāng)BE為菱形的對(duì)角線時(shí)，

∵四邊形EQBH是菱形，∴EK=BK=（5﹣5t），∵=cos∠ABC=，∴=，

∴t=．

②如圖4 中，當(dāng)BE=BQ時(shí)，

則有：5﹣5t=2t，t=．

③如圖5中，當(dāng)BQ是菱形的對(duì)角線時(shí)，

由cos∠ABC=，可得： =，解得t=．

④如圖6中，當(dāng)BE=BQ時(shí)，5t﹣5=2t，解得t=，

綜上所述，滿足條件時(shí)t的值為．