Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，OC=3，BC=2，取AB的中點(diǎn)M，連結(jié)MC，把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO．
（1）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)B與點(diǎn)D在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的拋物線上，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，連結(jié)OP．若以O(shè)、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△DAO相似，試求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）∵四邊形OCBA是矩形，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，∠B=90°．
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，
∴AM=MB=

1

2

AB=

3

2

．
∵把△MBC沿x軸的負(fù)方向平移OC的長(zhǎng)度后得到△DAO，
∴DA=MB=

3

2

，∠DAO=∠B=90°，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-

3

2

，2）；

（2）∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）．
∵拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx（a≠0），
又拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（3，2）與點(diǎn)D（-

3

2

，2），
∴

9a+3b=2 9 4 a- 3 2 b=2

，解得：

a= 4 9 b=- 2 3

，
∴拋物線的解析式為y=

4

9

x²-

2

3

x．
∵點(diǎn)P在拋物線上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

4

9

x²-

2

3

x）．
分兩種情況：
（i）若△PQO∽△DAO，則

PQ

DA

=

QO

AO

，
即

4 9 x2- 2 3 x

3 2

=

x

2

，解得：x₁=0（舍去），x₂=

51

16

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

51

16

，

153

64

）；
（ii）若△OQP∽△DAO，則

OQ

DA

=

PQ

AO

，
即

x

3 2

=

4 9 x2- 2 3 x

2

，解得：x₁=0（舍去），x₂=

9

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

9

2

，6）．