Question

【題目】學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組利用機(jī)器人開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在相距個(gè)單位長(zhǎng)度的直線跑道上，機(jī)器人甲從端點(diǎn)出發(fā)，勻速往返于端點(diǎn)、之間，機(jī)器人乙同時(shí)從端點(diǎn)出發(fā)，以大于甲的速度勻速往返于端點(diǎn)、之間．他們到達(dá)端點(diǎn)后立即轉(zhuǎn)身折返，用時(shí)忽略不計(jì)．興趣小組成員探究這兩個(gè)機(jī)器人迎面相遇的情況，這里的“迎面相遇”包括面對(duì)面相遇、在端點(diǎn)處相遇這兩種．

（觀察）

①觀察圖，若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為 _____個(gè)單位長(zhǎng)度；

②若這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為 _____個(gè)單位長(zhǎng)度；

（發(fā)現(xiàn)）

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第二次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．興趣小組成員發(fā)現(xiàn)了與的函數(shù)關(guān)系，并畫出了部分函數(shù)圖象（線段，不包括點(diǎn)，如圖所示）．

①＝ _____；

②分別求出各部分圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，并在圖中補(bǔ)全函數(shù)圖象；

（拓展）

設(shè)這兩個(gè)機(jī)器人第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，他們第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度．若這兩個(gè)機(jī)器人第三次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離不超過(guò)個(gè)單位長(zhǎng)度，則他們第一次迎面相遇時(shí)，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的取值范圍是 _____．（直接寫出結(jié)果）

Answer 1

【答案】【觀察】：①；②；【發(fā)現(xiàn)】：①；②見解析；【拓展】：0＜x≤12或48≤x≤72．

【解析】

[觀察]①設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

②此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)A為m個(gè)單位，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

[發(fā)現(xiàn)]①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)B時(shí)，設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論；

②設(shè)機(jī)器人甲的速度為v，則機(jī)器人乙的速度為，根據(jù)題意列函數(shù)解析式即可得到結(jié)論；

[拓展]由題意列不等式即可得到結(jié)論．

[觀察]①∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，

設(shè)機(jī)器人甲的速度為，

∴機(jī)器人乙的速度為，

∴機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)B所用的時(shí)間為，

機(jī)器人乙從相遇地點(diǎn)到點(diǎn)再返回到點(diǎn)所用時(shí)間為，而，

∴設(shè)機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，

機(jī)器人乙從第一次相遇地點(diǎn)到點(diǎn)，返回到點(diǎn)，再返回向時(shí)和機(jī)器人甲第二次迎面相遇，

設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)為個(gè)單位，

根據(jù)題意得，，

，

故答案為：；

②∵相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，

∴相遇地點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，

設(shè)機(jī)器人甲的速度為，

∴機(jī)器人乙的速度為，

∴機(jī)器人乙從相遇點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)所用的時(shí)間為，

機(jī)器人甲從相遇點(diǎn)到點(diǎn)所用時(shí)間為，而，

∴設(shè)機(jī)器人甲與機(jī)器人乙第二次迎面相遇時(shí)，機(jī)器人從第一次相遇點(diǎn)到點(diǎn)，再到點(diǎn)，返回時(shí)和機(jī)器人乙第二次迎面相遇，

設(shè)此時(shí)相遇點(diǎn)距點(diǎn)為個(gè)單位，

根據(jù)題意得，，

，

故答案為：；

[發(fā)現(xiàn)]①當(dāng)點(diǎn)第二次相遇地點(diǎn)剛好在點(diǎn)時(shí)，

設(shè)機(jī)器人甲的速度為，則機(jī)器人乙的速度為，

根據(jù)題意知，，

，

經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的根，

即：，

故答案為：；

②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線段上，

∴線段的表達(dá)式為，

當(dāng)時(shí)，即當(dāng)，此時(shí)，第二次相遇地點(diǎn)是機(jī)器人甲在到點(diǎn)返回向點(diǎn)時(shí)，

設(shè)機(jī)器人甲的速度為，則機(jī)器人乙的速度為，

根據(jù)題意知，，

，

即：，

補(bǔ)全圖形如圖2所示，

[拓展]①如圖，

由題意知，，

∴y=5x，

∵0＜y≤60，

∴0＜x≤12；

②如圖，

∴，

∴y=-5x+300，

∵0≤y≤60，

∴48≤x≤60，

③如圖，

由題意得，，

∴y=5x-300，

∵0≤y≤60，

∴60≤x≤72，

∵0＜x＜75，

∴48≤x＜72，

綜上所述，相遇地點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離x的取值范圍是0＜x≤12或48≤x≤72，

故答案為0＜x≤12或48≤x≤72．