Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)、．

（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，當(dāng)直線(xiàn)平分的面積時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖所示，把拋物線(xiàn)位于軸上方的圖象沿軸翻折，當(dāng)直線(xiàn)與翻折后的整個(gè)圖象只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)已知條件求出B、C兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，再把這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可求出拋物線(xiàn)的解析式；

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形根據(jù)三角形的面積即可求解；

（3）先求出翻折后的拋物線(xiàn)解析式，再利用拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相交的特點(diǎn)即可求解．

（1）令直線(xiàn)，x=0,得y=4

令y=0,則-x+4=0，解得x=4

∴點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，

把點(diǎn)、的坐標(biāo)分別代入，

得，

解得

拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：．

（2）令=0，

解得x1=-1,x2=4,

∴，

如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，

直線(xiàn)平分的面積，

，

當(dāng)時(shí)，，

把代入，得，

直線(xiàn)的解析式為，

由解得，

；

（3）∵=，故頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）

∴翻折后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）

∴翻折后的拋物線(xiàn)為=，

∴翻折后的整個(gè)圖象包括兩部分：分別是：

拋物線(xiàn)y＝x23x4（1≤x≤4）和y＝x2＋3x＋4（x＞4或x＜1）．

①當(dāng)直線(xiàn)y＝kx＋k與拋物線(xiàn)x23x4＝（1≤x≤4）相交時(shí)，

由，得x23x4＝kx＋k，

整理，得x2（k＋3）x（k＋4）＝0

解得x1＝1，x2＝k＋4．

所以y1＝0，y2＝k2＋5k．

所以?xún)蓚�(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

其中一個(gè)交點(diǎn)為A（1，0），另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（k＋4，k2＋5k）．

觀察圖象可知：另一個(gè)交點(diǎn)在x軸下方，橫坐標(biāo)在1與4之間，縱坐標(biāo)在與0之間．

所以1＜k＋4＜4，解得5＜k＜0．

＜k2＋5k＜0，整理，得

4k2＋20k＋25＞0或k2＋5k＜0，

解得，（2k＋5）2＞0或5＜k＜0．

k為任意實(shí)數(shù)，（2k＋5）2＞0都成立，

所以5＜k＜0；

②當(dāng)直線(xiàn)y＝kx＋k與圖象y＝x2＋3x＋4（x＞4，或x＜1）相交時(shí)，

x2＋3x＋4＝kx＋k，

整理得x2＋（k3）x＋（k4）＝0

解得x1＝1，x2＝4k，

所以y1＝0，y2＝5kk2．

所以?xún)蓚�(gè)函數(shù)圖象有兩交點(diǎn)，

其中一個(gè)是點(diǎn)A（1，0），另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（4k，5kk2）．

觀察圖象可知：另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于4，縱坐標(biāo)小于0，

即4k＞4，解得k＜0．

5kk2＜0，

∴k（5k）＜0，

∵k＜0，

∴5k＞0，

∴k＜5

∴k＜0

∴綜上所述：當(dāng)直線(xiàn)y＝kx＋k與翻折后的整個(gè)圖象只有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍是：5＜k＜0．