Question

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點E處測得∠AEP＝60°，∠BEQ＝45°；在點F處測得∠AFP＝45°，∠BFQ＝90°，EF＝2km．

（1）判斷AB、AE的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結果保留根號）．

Answer 1

（1）AB=AE，理由見解析；（2）（）km．

試題分析：（1）根據(jù)SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數(shù)表示出HE與HF，從而可得到關于x的方程，解方程即可得解．
試題解析：（1）相等．
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=∠BEQ=30°，
∴EF=BF，
又∵∠AFP=60°，
∴∠BFA=60°．
在△AEF與△ABF中，
∵，
∴△AEF≌△ABF（SAS），
∴AB=AE；
（2）過點A作AH⊥PQ，垂足為H．

設AE=xkm，
則AH=xsin60°km，HE=xcos60°km，
∴HF=HE+EF=（xcos60°+2）km，
Rt△AHF中，AH=HF•tan45°，
∴AH=HF，
即：xsin60°= xcos60°+2
解得：x=，
即AB=AE=（）km．
答：兩個島嶼A與B之間的距離為（）km．
考點: 解直角三角形的應用-方向角問題．