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        1. 【題目】如圖所示,已知AB是圓O的直徑,圓O過BC的中點D,且DE⊥AC.

          (1)求證:DE是圓O的切線;
          (2)若∠C=30°,CD=10cm,求圓O的半徑.

          【答案】
          (1)證明:連接OD,

          ∵D是BC的中點,O為AB的中點,

          ∴OD∥AC.

          又∵DE⊥AC,

          ∴OD⊥DE,

          ∵OD為半徑,

          ∴DE是圓O的切線.


          (2)解:連接AD;

          ∵AB是圓O的直徑,

          ∴∠ADB=90°=∠ADC,

          ∴△ADC是直角三角形.

          ∵∠C=30°,CD=10,

          ∴AD=

          ∵OD∥AC,OD=OB,

          ∴∠B=30°,

          ∴△OAD是等邊三角形,

          ∴OD=AD= ,

          ∴圓O的半徑為 cm.


          【解析】(1)連接OD,根據(jù)三角形的中位線定理可得OD∥AC.再根據(jù)平行線的性質(zhì)就可證明DE是圓O的切線;(2)利用30°這個特殊角度,求出AD的長,由兩直線平行同位角相等,可得∠B=30°,進(jìn)而判斷出△OAD是等邊三角形,得到圓O的半徑.
          【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用等邊三角形的性質(zhì)和圓周角定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

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          ②當(dāng)D在線段PB運動上時,試說明AC=2CD;

          (2)如果t=2 s時,CD=1 cm,試探索AP的值.

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