Question

如圖，在直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2

3

），∠BCO=60°，OH⊥BC，垂足為H．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線(xiàn)段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線(xiàn)段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．
（1）求OH的長(zhǎng)；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是多少？

Answer 1

解（1）∵AB∥OC，
∴∠OAB=∠AOC=90°，
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2

3

，
∴OB=4，∠ABO=60°，
∴BOC=60°，
而∠BCO=60°，
∴△BOC為等邊三角形，
∴OH=2

3

；

（2）∵OP=OH-PH=2

3

-t，
∴xp=3-

3

2

t，yp=

3

-

t

2

，
所以S=

1

2

OQ×xp=

1

2

×t×（3-

3

2

t）=-

3

4

t²+

3

2

t（0＜t＜2

3

），
即S=-

3

4

(t-

3

)2+

3 3

4

∴當(dāng)t=

3

時(shí)，S_最大=

3 3

4

．