Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，點(diǎn)M，N分別在線段AC，AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，若△DCM為直角三角形時(shí)，則AM的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】2或3﹣3

【解析】

依據(jù)△DCM為直角三角形，需要分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠CDM＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形；當(dāng)∠CMD＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，分別依據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到AM的長(zhǎng)．

解：分兩種情況：

①如圖，當(dāng)∠CDM＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AB＝3，

∴AC＝2AB＝6，∠C＝30°，由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60°，

∴∠BDN＝30°，

∴BN＝DN＝AN，

∴BN＝AB＝1，

∴AN＝2BN＝2，

∵∠DNB＝60°，

∴∠ANM＝∠DNM＝60°，

∴∠AMN＝60°，

∴AM＝AN＝2；

②如圖，當(dāng)∠CMD＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，

由題可得，∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，

∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，

∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，

又∵AB＝3，

∴AN＝6（2﹣），BN＝6﹣9，

過N作NH⊥AM于H，則∠ANH＝30°，

∴AH＝AN＝3（2﹣），HN＝6﹣9，

由折疊可得，∠AMN＝∠DMN＝45°，

∴△MNH是等腰直角三角形，

∴HM＝HN＝6﹣9，

∴AM＝AH+HM＝3（2﹣）+6﹣9＝3﹣3，

故答案為：2或3﹣3．