Question

已知函數(shù)y=mx²－6x＋1（m是常數(shù)）．
⑴求證：不論m為何值，該函數(shù)的圖象都經過y軸上的一個定點；
⑵若該函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，求m的值．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）0或9．

解析試題分析：此題考查了拋物線與x軸的交點或一次函數(shù)與x軸的交點，是典型的分類討論思想的應用．（1）根據(jù)解析式可知，當x=0時，與m值無關，故可知不論m為何值，函數(shù)y=mx2-6x+1的圖象都經過y軸上一個定點（0，1）．（2）應分兩種情況討論：①當函數(shù)為一次函數(shù)時，與x軸有一個交點；②當函數(shù)為二次函數(shù)時，利用根與系數(shù)的關系解答．
試題解析：
解：（1）∵當x=0時，y=1．
∴不論m為何值，函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象都經過y軸上一個定點（0，1）；
（2）①當m=0時，函數(shù)y=-6x+1的圖象與x軸只有一個交點；
②當m≠0時，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則方程mx²-6x+1=0有兩個相等的實數(shù)根，
所以△=（-6）²-4m=0，m=9．
綜上，若函數(shù)y=mx²-6x+1的圖象與x軸只有一個交點，則m的值為0或9．
考點：拋物線與x軸的交點；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．