Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)=分別與軸，軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為圓心，3為半徑作.
（1）連結(jié)，若，試判斷與軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，以與直線(xiàn)=的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

Answer 1

（1）⊙P與x軸相切．理由見(jiàn)解析；（2）-8或k=--8

解析試題分析：（1）通過(guò)一次函數(shù)可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及線(xiàn)段的長(zhǎng)，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當(dāng)PB=PA時(shí)k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關(guān)系．
（2）根據(jù)正三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，
①當(dāng)圓心P在線(xiàn)段OB上時(shí)，②當(dāng)圓心P在線(xiàn)段OB的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，從而求得k的值．
試題解析：（1）⊙P與x軸相切，
∵直線(xiàn)y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑．
∴⊙P與x軸相切．
（2）設(shè)⊙P₁與直線(xiàn)l交于C，D兩點(diǎn)，連接P₁C，P₁D，
當(dāng)圓心P₁在線(xiàn)段OB上時(shí)，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD為正三角形，
∴DE=CD=，P₁D=3．
∴P₁E=．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴，即，
∴P₁B＝.
∴P₁O=BO-BP₁=8-．
∴P₁（0，-8）．
∴k=-8．
當(dāng)圓心P₂在線(xiàn)段OB延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同理可得P₂（0，--8）．
∴k=--8．
∴當(dāng)k=-8或k=--8時(shí)，以⊙P與直線(xiàn)l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形．

考點(diǎn)：1.切線(xiàn)的判定；2.一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；3.等邊三角形的性質(zhì)；4.勾股定理；5.相似三角形的判定與性質(zhì)．