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        1. 【題目】如圖,菱形ABCD中,點(diǎn)P是CD的中點(diǎn),∠BCD=60°,射線AP交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,射線BP交DE于點(diǎn)K,點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),作BM⊥AE于點(diǎn)M,作KN⊥AE于點(diǎn)N,連結(jié)MO、NO,以下四個(gè)結(jié)論:①△OMN是等腰三角形;②tan∠OMN=;③BP=4PK;④PMPA=3PD2,其中正確的是( 。

          A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

          【答案】B

          【解析】試題分析:根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AD∥BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等,根據(jù)全等三角形的判定定理△ADP≌△ECP,由相似三角形的性質(zhì)得到AD=CE,作PI∥CEDEI,根據(jù)點(diǎn)PCD的中點(diǎn)證明CE=2PIBE=4PI,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到=,得到BP=3PK,故錯(cuò)誤;作OG⊥AEG,根據(jù)平行線等分線段定理得到MG=NG,又OG⊥MN,證明△MON是等腰三角形,故正確;根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)求出∠OMN=,故正確;然后根據(jù)射影定理和三角函數(shù)即可得到PMPA=3PD2,故正確.

          解:作PI∥CEDEI

          四邊形ABCD為菱形,

          ∴AD∥BC

          ∴∠DAP=∠CEP,∠ADP=∠ECP,

          △ADP△ECP中,

          ,

          ∴△ADP≌△ECP

          ∴AD=CE,

          ,又點(diǎn)PCD的中點(diǎn),

          =,

          ∵AD=CE,

          =

          ∴BP=3PK,

          錯(cuò)誤;

          OG⊥AEG

          ∵BMAEM,KNAEN

          ∴BM∥OG∥KN,

          點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),

          ∴MG=NG,又OG⊥MN,

          ∴OM=ON,

          △MON是等腰三角形,故正確;

          由題意得,△BPC,△AMB,△ABP為直角三角形,

          設(shè)BC=2,則CP=1,由勾股定理得,BP=,

          AP=

          根據(jù)三角形面積公式,BM=

          點(diǎn)O是線段BK的中點(diǎn),

          ∴PB=3PO,

          ∴OG=BM=,

          MG=MP=,

          tan∠OMN==,故正確;

          ∵∠AP=90°,BM⊥AP,

          ∴PB2=PMPA

          ∵∠BCD=60°,

          ∴∠ABC=120°,

          ∴∠PBC=30°

          ∴∠BPC=90°,

          ∴PB=PC,

          ∵PD=PC,

          ∴PB2=3PD,

          ∴PMPA=3PD2,故正確.

          故選B

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