Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以線段AB上的點(diǎn)O為圓心，0B為半徑作圓O，分別與邊AB，BC相交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F.

(1)判斷直線EF與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(2)若OB=3，cosB＝，求線段BE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)直線EF與⊙O相切；(2)BE=2.

【解析】

(1) 連結(jié)OE，根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠OEB＝∠C，可以推出OE∥AC，再根據(jù)EF⊥AC即可得出EF是⊙O的切線；

（2）連結(jié)DE，由題意得出∠BED＝90°，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求得BE.

解:(1)直線EF與⊙O相切. 理由如下:

如圖，連結(jié)OE.

∵OB＝OE，AB＝AC，

∴∠B＝∠OEB，∠B＝∠C，

∴∠OEB＝∠C.

∴OE∥AC.

又∵EF⊥AC，

∴OE⊥EF.

又∵點(diǎn)E在圓上，

∴EF是⊙O的切線.

(2)如圖，連結(jié)DE.

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BED＝90°.

在Rt△BDE中，BD＝2OB＝6，cosB=，

∴BE＝BD·cosB＝2.