Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，DE：BC=1：3．若點F從點B開始以每秒1個單位長的速度在射線BC上運動．當點F運動時間t＞0時，直線FD與過點A且平行于BC

的直線相交于點G，射線GE與射線BC相交于點H． AB與GH相交于點O．請解答下列問題：
（1）設△AEG的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關系式；
（2）當t為多少秒時，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面積．

Answer 1

（1）設BF=t
由DE：BC=1：3，則

AD

BD

=

AE

EC

=

1

2

而GA∥BC可得△ADG∽△BDF（1分）
∴

AG

BF

=

1

2

∴AG=

1

2

BF=

1

2

t（2分）
∴S=

1

2

AG?AE=

1

2

×

1

2

t×2=

1

2

t；（3分）

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°（4分）
若AB⊥GH
則在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2（5分）
∵已證AG=

1

2

BF
∴BF=4
∴t=4（6分）
當t為4秒時，AB⊥GH；（7分）

（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴

AG

BF

=

AD

DB

=

1

2

，

AG

CH

=

AE

EC

=

1

2

∴BF=CH（8分）
∴FH=BC=6（9分）
∴S_△GFH=

1

2

FH?AC=

1

2

BC?AC=

1

2

×6×6=18．（10分）