Question

【題目】如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D的坐標(biāo)；

（2）點在軸上，若以，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點的坐標(biāo)；

（3）過點作直線CD的垂線，垂足為，若將沿翻折，點的對應(yīng)點為．是否存在點，使恰好落在軸上？若存在，求出此時點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；點坐標(biāo)為； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）滿足條件的點有兩個，其坐標(biāo)分別為：（， ），（，）．

【解析】

1)用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式,令y=2可得出點D的坐標(biāo)

(2)分兩種情況進行討論,①當(dāng)AE為一邊時,AE∥PD,②當(dāng)AE為對角線時,根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等,求解點P坐標(biāo)

(3)結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方,設(shè)點P的坐標(biāo)為(，),分情況討論,①當(dāng)P點在y軸右側(cè)時,②當(dāng)P點在y軸左側(cè)時,運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可

（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，

∴，解得：，，

∴拋物線解析式為：；

當(dāng)時，，解得：，（舍），即：點坐標(biāo)為．

（2）∵，兩點都在軸上，∴有兩種可能：

①當(dāng)為一邊時，∥，此時點與點重合（如圖1），∴，

②當(dāng)為對角線時，點、點到直線（即軸）的距離相等，

∴點的縱坐標(biāo)為（如圖2），

把代入拋物線的解析式，得：，

解得：，，

∴點的坐標(biāo)為，，

綜上所述：； ； ．

（3）存在滿足條件的點，顯然點在直線下方，設(shè)直線交軸于，

點的坐標(biāo)為（，），

①當(dāng)點在軸右側(cè)時（如圖3），

，

，

又∵，

∴,

又，∴，

∴，

∵，，，∴，∴，

∴，＝＝，

即，∴點的坐標(biāo)為（，），

②當(dāng)點在軸左側(cè)時（如圖4），

此時，，＝＝，

＝－（）＝，

又∵，，

∴，又

∴，∴，

∵，，，

∴，∴，

∴，

＝＝，

此時，點的坐標(biāo)為（，）．

綜上所述，滿足條件的點有兩個，其坐標(biāo)分別為：（，），（，）．