Question

【題目】如圖1，二次函數的圖像與軸交于兩點(點在點的左側)，與軸交于點.

（1）求二次函數的表達式及點、點的坐標;

（2）若點在二次函數圖像上，且，求點的橫坐標;

（3）將直線向下平移，與二次函數圖像交于兩點(在左側)，如圖2，過作軸，與直線交于點，過作軸，與直線交于點，當的值最大時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）y＝，A（﹣1，0），B（4，0）；（2）D點的橫坐標為2+2，2﹣2，2；（3）M（，﹣）

【解析】

（1）求出a，即可求解；

（2）求出直線BC的解析式，過點D作DH∥y軸，與直線BC交于點H，根據三角形面積的關系求解；

（3）過點M作MG∥x軸，交FN的延長線于點G，設M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），判斷四邊形MNFE是平行四邊形，根據ME＝NF，求出m+n＝4，再確定ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，即可求M；

（1）y＝ax2﹣3ax﹣4a與y軸交于點C（0，﹣3），

∴a＝，

∴y＝x2﹣x﹣3，

與x軸交點A（﹣1，0），B（4，0）；

（2）設直線BC的解析式為y＝kx+b，

∴，

∴，

∴y＝x﹣3；

過點D作DH∥y軸，與直線BC交于點H，

設H（x，x﹣3），D（x，x2﹣x﹣3），

∴DH＝|x2﹣3x|，

∵S△ABC＝，

∴S△DBC＝＝6，

∴S△DBC＝2×|x2﹣3x|＝6，

∴x＝2+2，x＝2﹣2，x＝2；

∴D點的橫坐標為2+2，2﹣2，2；

（3）過點M作MG∥x軸，交FN的延長線于點G，

設M（m，m2﹣m﹣3），N（n，n2﹣n﹣3），

則E（m，m﹣3），F（n，n﹣3），

∴ME＝﹣m2+3m，NF＝﹣n2+3n，

∵EF∥MN，ME∥NF，

∴四邊形MNFE是平行四邊形，

∴ME＝NF，

∴﹣m2+3m＝﹣n2+3n，

∴m+n＝4，

∴MG＝n﹣m＝4﹣2m，

∴∠NMG＝∠OBC，

∴cos∠NMG＝cos∠OBC＝,

∵B（4，0），C（0，﹣3），

∴OB＝4，OC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝5，

∴MN＝（n﹣m）＝（4﹣2m）＝5﹣m，

∴ME+MN＝﹣m2+3m+5﹣m＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，

∴當m＝時，ME+MN有最大值，

∴M（，﹣）