Question

如圖，在梯形中ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BE⊥CD于點(diǎn)E，AB=BE．
（1）試證明BC=DC；
（2）若∠C=45°，CD=2，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)D作DF⊥BC于F．得到四邊形ABFD是矩形，推出AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°證△BEC≌△DFC即可；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出DF=CF，根據(jù)勾股定理求出CF=

2

，即可得出答案．

解答：（1）證明：過點(diǎn)D作DF⊥BC于F．
得四邊形ABFD是矩形，
∴AB=DF=BE，∠DFC=∠BEC=90°，
在△DFC和△BEC中

∠DFC=∠BEC ∠C=∠C DF=BE

，
∴△BEC≌△DFC，
∴BC=DC．

（2）解：∵∠DFC=90°，∠C=45°，CD=2，
∴DF=CF，
由勾股定理得：CF²+DF²=CD²=4，
∴CF=

2

，
AD=BF=2-

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，直角梯形，勾股定理，垂線等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，證兩線段相等可以把兩線段放在兩三角形中，證兩三角形全等．