Question

已知，等邊△ABC邊長為6，P為BC邊上一點，且BP=4，點E、F分別在邊AB、AC上，且∠EPF=60°，設BE=x，CF=y．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（2）①若四邊形AEPF的面積為時，求x的值．
②四邊形AEPF的面積是否存在最大值？若存在，請求出面積的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) ， x的取值范圍是;(2) ①4，②存在，x=2，.

解析試題分析：（1）求出△BEP∽△CPF，得出比例式，代入求出即可；
（2）①過A作AD⊥BC于D，過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M，求出AD=3，EN=x，CF=y=，F(xiàn)M=，根據(jù)S_{四邊形AEPF}=S_△ABC-S_△BEP-S_△CFP得出方程，求出x即可；
②四邊形AEPF的面積存在最大值，把9-x-化成-（-）²+5，即可得出答案．
試題解析：（1）∵∠EPF=60°
∴∠BPE＋∠CPF=120°
∵∠B=60°∴∠BPE＋∠BEP=120°
∴∠BEP=∠CPF又∵∠B=∠C=60°
∴△BEP∽△CPF
∴
∴
∴， x的取值范圍是.
（2）①過A作AD⊥BC于D，
過E作EN⊥BC于N，過F作FM⊥BC于M

∵∠B=60°，AB=6,BE=x
∴AD=sin60°×6=, EN=sin60°×x=x
∵∠C=60°，CF=∴FM=sin60°×
∴
.
∴x²-5x+4=0　
∴x₁=1（舍去）,x₂=4
②



∴當，即x=2時，四邊形AEPF的面積存在最大值，最大值是.
考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì)；2.一元二次方程的應用；3.二次函數(shù)的最值；4.等邊三角形的性質(zhì)．