Question

（本題滿分14分，其中第（1）、（2）小題各4分，第（3）小題6分）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（-1,1）和點(diǎn)B（2,2），該函數(shù)圖像的對稱軸與直線OA、OB分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D．

小題1:（1）求這個二次函數(shù)的解析式和它的對稱軸；
小題2:（2）求證：∠ABO=∠CBO；
小題3:（3）如果點(diǎn)P在直線AB上，且△POB
與△BCD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

小題1:（1）解：由題意，得………………………………………（1分）
解得………………………………………………………………（1分）
∴所求二次函數(shù)的解析式為．……………………（1分）
對稱軸為直線x=1．
小題2:（2）證明：由直線OA的表達(dá)式y=-x，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,-1）．…………（1分）
∵，，∴AB=BC．…………………………………（1分）
又∵，，∴OA=OC．………………………………（1分）
∴∠ABO=∠CBO．
小題3:（3）解：由直線OB的表達(dá)式y=x，得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1,1）．………………（1分）
由直線AB的表達(dá)式，
得直線與x軸的交點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4,0）．………………………………（1分）
∵△POB與△BCD相似，∠ABO=∠CBO，
∴∠BOP=∠BDC或∠BOP=∠BCD．
（i）當(dāng)∠BOP=∠BDC時，由∠BDC==135°，得∠BOP=135°．
∴點(diǎn)P不但在直線AB上，而且也在x軸上，即點(diǎn)P與點(diǎn)E重合．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0）．…………………………………………………（2分）
（ii）當(dāng)∠BOP=∠BCD時，
由△POB∽△BCD，得．
而，，，∴．
又∵，∴．
作PH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，BF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F．
∵PH∥BF，∴．
而BF=2，EF=6，∴，．
∴．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（,）．………………………………………………（2分）
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-4,0）或（,）

略