Question

（2011•西藏）已知，如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），⊙A交x軸于點(diǎn)B和C，交y軸于點(diǎn)D（0，4），過(guò)點(diǎn)D的直線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)P，且tan∠APD=

1

2

．
（1）求證：PD是⊙A的切線(xiàn)；
（2）判斷在直線(xiàn)PD上是否存在點(diǎn)M，使得S_△MOD=2S_△AOD？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求出OA、OD，求出tan∠ADO=tan∠APD=

1

2

，得出∠ADO=∠APD，推出∠DAO+∠APD=90°，求出∠PDA=90°即可；
（2）求出AD、PD，AP，求出P的坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)PD的解析式是：y=kx+4，把P的坐標(biāo)代入求出直線(xiàn)的解析式，設(shè)M的坐標(biāo)是（x，

1

2

x+4），當(dāng)M在y軸的左邊時(shí)，過(guò)M作MN⊥OD于N，根據(jù)S_△MOD=2S_△AOD，推出

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，求出x，求出此時(shí)M坐標(biāo)，當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右邊時(shí)，同法可求M的橫坐標(biāo)是4，代入求出即可．

解答：（1）證明：∵A（2，0）D（0，4），
∴AO=2，OD=4，
∴在Rt△ADO中，tan∠ADO=

OA

OD

=

2

4

=

1

2

，
∵tan∠APD=

1

2

，
∴∠ADO=∠APD，
∵∠AOD=90°，
∴∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO+∠APD=90°，
∴∠PDA=180°-90°=90°，
∴AD⊥PD，
∵AD是⊙A的半徑，
∴PD是⊙A的切線(xiàn)．

（2）解：在△ADO中，OA=2，OD=4，由勾股定理得：AD=2

5

，
在Rt△PDA中，tan∠APD=

AD

PD

=

1

2

，
即PD=4

5

，
由勾股定理得：AP=

(4 5 )2+(2 5 )2

=10，
∵OA=2，
∴OP=8，
即P（-8，0），
∵D（0，4），
∴設(shè)直線(xiàn)PD的解析式是：y=kx+4，
把P的坐標(biāo)代入得：0=-8k+4，
解得：k=

1

2

，
∴直線(xiàn)PD的解析式是y=

1

2

x+4，
假如存在M點(diǎn)，使得S_△MOD=2S_△AOD，
設(shè)M的坐標(biāo)是（x，

1

2

x+4），
如圖：
當(dāng)M在y軸的左邊時(shí)，過(guò)M作MN⊥OD于N，
∵S_△MOD=2S_△AOD，
∴

1

2

×4×（-x）=2×

1

2

×2×4，
解得：x=-4，
y=

1

2

x+4=2，
即此時(shí)M坐標(biāo)是（-4，2），
當(dāng)M點(diǎn)在y軸的右邊時(shí)，同法可求M的橫坐標(biāo)是4，代入y=

1

2

x+4得y=6，
此時(shí)M的坐標(biāo)是（4，6），
即在直線(xiàn)PD上存在點(diǎn)M，使得S_△MOD=2S_△AOD，點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-4，2）或（4，6）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定，用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算的能力，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)，是一道比較好的題目．注意：要分類(lèi)討論啊．