Question

有一張長比寬多8cm的矩形紙板．如果在紙板的四個角處各剪去一個正方形（如圖所示），可制成高是4cm，容積是512cm³的一個無蓋長方體紙盒．
（1）求矩形紙板的長和寬；
（2）在操作過程中，由于不小心，矩形紙板被剪掉一角，其直角邊長分別為3cm和6cm．如果在剩余的紙板上先裁剪一個各邊與原矩形紙板各邊平行或重合的矩形，然后再按如圖裁剪方式制作高仍是4cm的無蓋長方體紙盒，那么你認(rèn)為如何裁剪才能使制作的長方體紙盒的容積最大，請畫出草圖，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出矩形紙板的寬，根據(jù)長比寬多8cm，即可表示出紙板的長，然后根據(jù)長方體紙盒的容積列方程求出紙板的長和寬．
（2）首先根據(jù)已知條件畫出草圖，設(shè)能夠裁剪的矩形為CGHP，并延長GH交ND于M，由于HM∥AM，易證得△HME∽△ANE，可得關(guān)于HM、AN、ME、NE的比例關(guān)系式，然后分兩種情況考慮：
①當(dāng)3cm的邊在BN上時，可設(shè)NM為x，根據(jù)上面得到的比例線段，可求得HM的表達(dá)式，進(jìn)而可表示出HG的長，HP的長易求得，然后根據(jù)（1）題的計(jì)算方法，表示出長方體紙盒的容積，即可得到關(guān)于紙盒容積和NM長的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍，即可得到長方體紙盒的最大容積及對應(yīng)的NM即BG的長；
②當(dāng)6cm的邊在BN上時，解法同①；
然后比較兩種情況下，所得長方體紙盒的最大容積，即可確定裁剪方案．

解答：解：（1）設(shè)矩形紙板的寬為xcm，則長為（x+8）cm．（1分）
根據(jù)題意，得4（x-8）（x+8-8）=512，（3分）
解得，x₁=16，x₂=-8（不合題意，舍去）（4分）
∴x+8=24（cm）．（5分）
答：矩形紙板的長和寬分別24cm，16cm．

（2）設(shè)所裁剪的矩形是CGHP，延長GH交ND于點(diǎn)M
∵HM∥BN，
∴△HME∽△ANE，
∴

HM

AN

=

ME

NE

．
分兩種情況：
當(dāng)3cm的邊在BN上時（如圖1）（6分）
設(shè)NM為x，則

HM

3

=

6-x

6

．
∴HM=3-

x

2

，∴GH=16-（3-

x

2

）=13+

x

2

；
∴V=4（13+

x

2

-8）（24-x-8）（8分）
=-2（x²-6x-160）=-2（x-3）²+338．
∴當(dāng)NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．（9分）
當(dāng)6cm的邊在BN上時（如圖2）．（10分）
設(shè)NM為x，
∴

HM

6

=

3-x

3

，∴HM=6-2x
∴GH=16-（6-2x）=10+2x，
∴V=4（10+2x-8）（24-x-8），
=-8（x-7.5）²+578．（11分）
∵0≤x≤3，且-8＜0，∴V隨x增大而增大，
∴當(dāng)NM為3cm時，長方體紙盒的容積最大．（12分）
綜上所知，在BC上取點(diǎn)G，使BG=3cm，這樣裁剪的矩形GHPC能使所制作的長方體紙盒的容積最大．

點(diǎn)評：此題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用；要注意的是（2）題中，3cm、6cm的邊都有可能在BN上，因此要分類討論，不要漏解．