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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情

          【題目】如圖,拋物線a≠0)經過點A﹣3,0)、B1,0)、C﹣2,1),交y軸于點M

          1)求拋物線的表達式;

          2D為拋物線在第二象限部分上的一點,作DE垂直x軸于點E,交線段AM于點F,求線段DF長度的最大值,并求此時點D的坐標;

          3)拋物線上是否存在一點P,作PN垂直x軸于點N,使得以點P、AN為頂點的三角形與MAO相似?若存在,求點P的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】(1

          2)點D的坐標為

          3)滿足條件的點P的坐標為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10,﹣39)。

          【解析】

          分析:1)把點A、BC的坐標分別代入已知拋物線的解析式列出關于系數的三元一次方程組,通過解該方程組即可求得系數的值。

          2)由(1)中的拋物線解析式易求點M的坐標為(0,1).所以利用待定系數法即可求得直線AM的關系式為。由題意設點D的坐標為,則點F的坐標為,易求DF關于的函數表達式,根據二次函數最值原理來求線段DF的最大值。

          3)對點P的位置進行分類討論:點P分別位于第一、二、三、四象限四種情況。利用相似三角形的對應邊成比例進行解答。

          解:(1)把A﹣3,0)、B1,0)、C﹣21)代入得,

          .解得。

          拋物線的表達式為。

          2)將x=0代入拋物線表達式,得y=1M的坐標為(0,1)。

          設直線MA的表達式為y=kx+b,

          ,解得。

          直線MA的表達式為

          設點D的坐標為,

          則點F的坐標為。

          時,DF的最大值為。

          此時,即點D的坐標為。

          3)存在點P,使得以點P、A、N為頂點的三角形與MAO相似。

          P

          RtMAO中,AO=3MO,要使兩個三角形相似,由題意可知,點P不可能在第一象限。

          設點P在第二象限時,P不可能在直線MN上,只能PN=3NM。

          ,即,

          解得m=﹣3m=﹣8。

          此時﹣3m0,此時滿足條件的點不存在。

          當點P在第三象限時,

          P不可能在直線MN上,只能PN=3NM。

          ,即

          解得m=﹣3(舍去)或m=﹣8。

          m=﹣8時,此時點P的坐標為(﹣8,﹣15)。

          當點P在第四象限時,

          AN=3PN時,則,

          m2+m﹣6=0。

          解得m=﹣3(舍去)或m=2

          m=2時,,

          此時點P的坐標為(2)。

          PN=3NA,則,即m27m﹣30=0。

          解得m=﹣3(舍去)或m=10

          m=10時,,此時點P的坐標為(10,﹣39)。

          綜上所述,滿足條件的點P的坐標為(﹣8,﹣15)、(2,)、(10﹣39)。

          練習冊系列答案
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          請你根據圖中提供的信息解答下列問題:

          1)求本次被抽查的居民有多少人?

          2)將圖1和圖2補充完整;

          3)求圖2“C”層次所在扇形的圓心角的度數;

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