Question

【題目】已知拋物線y=ax2﹣4a（a＞0）與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且PB=AB，∠PBA=120°，如圖所示．

（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，n）為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在曲線PA上移動(dòng)．
①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)M使△APM的面積為 ？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，求|m|+|n|的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1

，

令y=0代入y=ax2﹣4a，

∴0=ax2﹣4a，

∵a＞0，

∴x2﹣4=0，

∴x=±2，

∴A（﹣2，0），B（2，0），

∴AB=4，

過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，

∴∠PBC=180°﹣∠PBA=60°，

∵PB=AB=4，

∴cos∠PBC= ，

∴BC=2，

由勾股定理可求得：PC=2 ，

∵OC=OC+BC=4，

∴P（4，2 ），

把P（4，2 ）代入y=ax2﹣4a，

∴2 =16a﹣4a，

∴a= ，

∴拋物線解析式為；y= x2﹣

（2）

解：∵點(diǎn)M在拋物線上，

∴n= m2﹣ ，

∴M的坐標(biāo)為（m， m2﹣ ），

①當(dāng)點(diǎn)M在曲線PB之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，

∴2≤m≤4，

如圖2，

過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)D，

設(shè)直線AP的解析式為y=kx+b，

把A（﹣2，0）與P（4，2 ）代入y=kx+b，

得： ，

解得

∴直線AP的解析式為：y= x+ ，

令x=m代入y= x+ ，

∴y= m+ ，

∴D的坐標(biāo)為（m， m+ ），

∴DM=（ m+ ）﹣（ m2﹣ ）=﹣ m2+ m+ ，

∴S△APM= DMAE+ DMCE

= DM（AE+CE）

= DMAC

=﹣ m2+ m+4

當(dāng)S△APM= 時(shí)，

∴ =﹣ m2+ m+4 ，

∴解得m=3或m=﹣1，

∵2≤m≤4，

∴m=3，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（3， ）；

②當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，

∴﹣2≤m≤2，n＜0，

當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)，

∴|m|+|n|=﹣m﹣n=﹣ m2﹣m+ =﹣ （m+ ）2+ ，

當(dāng)m=﹣ 時(shí)，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ），

當(dāng)0＜m≤2時(shí)，

∴|m|+|n|=m﹣n=﹣ m2+m+ =﹣ （m﹣ ）2+ ，

當(dāng)m= 時(shí)，

∴|m|+|n|可取得最大值，最大值為 ，

此時(shí)，M的坐標(biāo)為（ ，﹣ ），

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M在曲線BA之間（含端點(diǎn)）移動(dòng)時(shí)，M的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）時(shí)，|m|+|n|的最大值為 ．

【解析】（1）先求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C，根據(jù)∠PBA=120°，PB=AB，分別求出BC和PC的長(zhǎng)度即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，最后將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即；（2）①過(guò)點(diǎn)M作ME⊥x軸于點(diǎn)E，交AP于點(diǎn)D，分別用含m的式子表示點(diǎn)D、M的坐標(biāo)，然后代入△APM的面積公式 DMAC，根據(jù)題意列出方程求出m的值；
②根據(jù)題意可知：n＜0，然后對(duì)m的值進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)﹣2≤m≤0時(shí)，|m|=﹣m；當(dāng)0＜m≤2時(shí)，|m|=m，列出函數(shù)關(guān)系式即可求得|m|+|n|的最大值．本題考查二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形面積公式，二次函最值等知識(shí)，要注意將三角形分解成兩個(gè)三角形求解；還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)的性質(zhì)．