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        1. 【題目】綜合與探究:

          如圖1,拋物線軸交于兩點(點在點的左側),頂點為為對稱軸右側拋物線的一個動點,直線軸于點,過點,交軸于點

          1)求直線的函數(shù)表達式及點的坐標;

          2)如圖2,當軸時,將以每秒1個單位長度的速度沿軸的正方向平移,當點與點重合時停止平移.設平移秒時,在平移過程中與四邊形重疊部分的面積為,求關于的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;

          3)如圖3,過點軸的平行線,交直線于點,直線交于點,設點的橫坐標為

          ①當時,求的值;

          ②試探究點在運動過程中,是否存在值,使四邊形是菱形?若存在,請直接寫出點的坐標;若不存在,請說明理由.

          【答案】1;(2)當時,;當時,;(3,

          【解析】

          1)先通過拋物線函數(shù)關系式求出與x軸的兩個交點A、B的坐標以及頂點D的坐標,再利用待定系數(shù)可求得直線AD的函數(shù)表達式,令x=0,即可求得點C的坐標;

          2)先求出點P坐標,通過平移可求得,從而可得OF的長為,當時,重疊部分為△AOC,求出△AOC的面積即可,當時,平移秒到的位置,于點,如圖,重疊部分為四邊形,根據(jù)結合相似三角形的性質可表示出的長,再根據(jù)四邊形的面積=的面積-的面積即可求出關于的函數(shù)關系式;

          3過點軸于點,交于點,利用點P、D的坐標表示出DN、NQ的長,再根據(jù)平行得,結合列出方程求解即可;

          當點P在第一象限時,過點PPG⊥x軸于點G,易證△PGF∽△COA,故可設PG=4kFG=3k,由勾股定理得PF=5k,由菱形得AF=PF=5k,故可表示出點P坐標,將點P坐標代入拋物線函數(shù)關系式列出方程求解即可,當點P在第四象限時,同理可得點P坐標.

          解:(1,

          時,,解得,

          在點的左側,

          ,

          ,即

          ,

          設直線的函數(shù)表達式為

          直線過點,

          ,解得,

          時,,

          2)當時,,

          解得:,

          在拋物線對稱軸的右側,

          ,

          ,

          時,

          ,

          時,平移秒到的位置,于點,如圖,

          ,

          ,

          ,

          ,

          ,即,

          =

          綜上所述,當時,;

          時,;

          3如圖,過點軸于點,交于點

          的橫坐標為

          ,

          ,

          ,

          軸,

          ,

          時,

          ,即

          時,

          ,

          在拋物線對稱軸的右側,

          ;

          時,

          ,

          在拋物線對稱軸的右側,

          ,

          綜上所述,

          如圖,當點P在第一象限時,過點PPG⊥x軸于點G,

          PF∥AC

          ∠PFG=∠CAO

          ∵∠PGF=∠COA=90°,

          ∴△PGF∽△COA,

          ,

          ,

          ∴設PG=4k,FG=3k,則PF=5k,

          四邊形是菱形

          AF=PF=5k,

          A-2,0),

          ∴點P-2+8k4k

          P在拋物線的圖像上,

          整理得

          解得(舍去)

          ∴點P的坐標為,

          如圖,當點P在第四象限時,過點PPK⊥x軸于點K

          PF∥AC,

          ∠PFK=∠CAO,

          ∵∠PKF=∠COA=90°,

          ∴△PKF∽△COA,

          ,

          ,

          ∴設PK=4a,FK=3a,則PF=5a,

          四邊形是菱形

          AF=PF=5a,

          A-20),

          ∴點P-2+2a,-4a

          P在拋物線的圖像上,

          ,

          整理得

          解得(舍去)

          ∴點P的坐標為,

          綜上所述,存在,使四邊形是菱形,此時點的坐標為

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