Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E為BC上一點(diǎn)，BE∶CE＝3∶2，連接AE，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB的方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PF∥BC交直線AE于點(diǎn)F.

(1)線段AE＝______；

(2)設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，EF的長(zhǎng)度為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

(3)當(dāng)t為何值時(shí)，以F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC都相切？并求此時(shí)⊙F的半徑．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）；（3）時(shí)，半徑PF＝；t＝16，半徑PF＝12.

【解析】

（1）由矩形性質(zhì)知BC=AD=5，根據(jù)BE：CE=3：2知BE=3，利用勾股定理可得AE=5；

（2）由PF∥BE知，據(jù)此求得AF=t，再分0≤t≤4和t＞4兩種情況分別求出EF即可得；

（3）由以點(diǎn)F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時(shí)PF=PG，再分t=0或t=4、0＜t＜4、t＞4這三種情況分別求解可得

(1)∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC＝AD＝5，

∵BE∶CE＝3∶2，

則BE＝3，CE＝2，

∴AE＝＝＝5.

(2)如圖1，

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即0≤t≤4，

∵PF∥BE，

∴＝，即＝，

∴AF＝t，

則EF＝AE－AF＝5－t，即y＝5－t(0≤t≤4)；

如圖2，

當(dāng)點(diǎn)P在射線AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即t＞4，

此時(shí)，EF＝AF－AE＝t－5，即y＝t－5(t＞4)；

綜上，；

(3)以點(diǎn)F為圓心的⊙F恰好與直線AB、BC相切時(shí)，PF＝FG，分以下三種情況：

①當(dāng)t＝0或t＝4時(shí)，顯然符合條件的⊙F不存在；

②當(dāng)0＜t＜4時(shí)，如解圖1，作FG⊥BC于點(diǎn)G，

則FG＝BP＝4－t，

∵PF∥BC，

∴△APF∽△ABE，

∴＝，即＝，

∴PF＝t，

由4－t＝t可得t＝，

則此時(shí)⊙F的半徑PF＝；

③當(dāng)t＞4時(shí)，如解圖2，同理可得FG＝t－4，PF＝t，

由t－4＝t可得t＝16，

則此時(shí)⊙F的半徑PF＝12.